人教版初中数学第一讲 数学思想方法（解析版）.docx

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总复****
第一讲 数学思想与方法
性质及简单运用

学生姓名
年 级
学 科
数 学
教学目标
1、能从问题中体会分类讨论思想、函数方程思想、数形结合思想、引参转化思想，并且能将问题与实际联系起来，能从思想中衍生除数学方法；
2、在解答过程中去观察、归纳、总结、建模等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。
数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法。
思想与方法并不是孤立独行的，二者之间互相联系，思想对应方法，方法返衬思想。
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模块一
数学思想

数学思想——数形结合思想
题组一
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
1、数形结合的内容
（1）绝对值问题：画数轴，根据绝对值的性质（一点到另一点的距离）得到一个范围，从而解出绝对值。
（2）函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合
体现了数形结合的特征与方法。
（3）方程与不等式：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
（4）几何探究：几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。
2、数形结合的类型
（1）以“数”化“形”：对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。
（2）以“形”变“数”：解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式（一般利用坐标转化也可以通过引入参数解决）表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；②是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；③是正确确定参数的取值范围。
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例1 已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
【规范答题】由数轴可得：，则，，，
则．
例2 在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于　　　　．
【规范答题】
过作于，在中，，，
，，在中，，
，
如图1，，平行四边形的面积，
如图2，，平行四边形的面积，故答案为：或．

例3 如图，点，依次在的图象上，点，依次在轴的正半轴上．若△，△ 均为等边三角形，则点的坐标为　 　．
【规范答题】作，垂足为，△为等边三角形，，，
，设的坐标为，点在的图象上，
，解得，，，作，垂足为．
设，则，，．
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在反比例函数的图象上，代入，得，
化简得，解得：．，．