人教版初中数学专题18 函数与线段、面积等最值问题【考点精讲】（解析版）.docx

专题18 函数与线段、面积等最值问题
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方法技巧
1．二次函数与线段的和差
在x轴上是否存在点P，使PB+PA最短？若存在求出点P的坐标，并求出最小值。若不存在，请说明理由。
【方法技巧】（将军饮马模型）在两定点中任选一个点(为了简单起见，常常取轴上的点)，求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连，那么此直线与在x轴上的交点既是点P。
2．二次函数与周长
在y轴上是否存在点P，使△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。
注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需PA+PD最小。
3．二次函数与距离
在直线BD下方的抛物线上，是否存在点P，使点P到直线BD的距离最大？若存在，求出点P的坐标，并求出最大距离；若不存在，请说明理由.
因为BD是定线段，点P到直线BD的距离最大，意味着△BDP的面积最大
4．二次函数与面积
① 三角形面积最值：找公共边、平移、表示面积
② 四边形面积最值：设出P点坐标，采用公式法或割补法表示四边形面积
（1）在直线BD下方的抛物线上是否存在点P，使S△PBD的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
过点P作y轴的平行线，将△PBD分割成2个同底的三角形，则：S△PBD=12(y上动-y下动)(x右定-x左定)
（2）在直线BD下方的抛物线上是否存在点P，使四边形DOBP的面积最大？若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由。
四边形DOBP是不规则图形，通常用割补法求解，则：S四边形DOBP=S△DOB+S△DBP,或S四边形DOBP=S△BOP
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBC=2S△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
设出动点P的坐标为(t,t2-2t-3)后，把到图形△ABD的面积算出，借助于动点坐标把动三角形PBC的面积表示出来，再代入已知中的面积等式求解即可。
题型精讲
题型一：函数与最值问题
【例1】（2021·山东）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可）
（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．
【答案】(1)顶点A的坐标为；(2)；(3)或
【分析】
(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；
(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；
(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．
【详解】
解：(1)由题意可知：
抛物线，
∴顶点A的坐标为；
(2)将代入中，
得到，
将代入中，
得到，
由已知条件知：，
∴，
整理得到：，
解得：，
故m的取值范围是：；
(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为，
分类讨论：
①当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故符合题意；
②当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故或都不符合题意；
③当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故符合题意；
综上所述，或．
题型二：函数与线段、周长问题
【例2】（2021·四川）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，
【分析】
（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；
（3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，