2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题4　第1讲　空间几何体.docx

第1讲　空间几何体
[考情分析]　空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．
考点一　空间几何体的折展问题
核心提炼
空间几何体的侧面展开图
1．圆柱的侧面展开图是矩形．
2．圆锥的侧面展开图是扇形．
3．圆台的侧面展开图是扇环．
例1　(1)“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为40 km，山高为40 km，B是山坡SA上一点，且AB＝40 km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为(　　)
A．60 km B．12 km
C．72 km D．12 km
答案　C
解析　该圆锥的母线长为＝160，
所以圆锥的侧面展开图是圆心角为＝的扇形，
如图，展开圆锥的侧面，连接A′B，
由两点之间线段最短，知观光公路为图中的A′B，A′B＝＝＝200，
过点S作A′B的垂线，垂足为H，
记点P为A′B上任意一点，连接PS，当上坡时，P到山顶S的距离PS越来越小，当下坡时，P到山顶S的距离PS越来越大，
则下坡段的公路为图中的HB，
由Rt△SA′B∽Rt△HSB，
得HB＝＝＝72(km)．
(2)(2022·深圳检测)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意知，AE＝AD＝AB＝1，BC＝2，
在△ACE中，由余弦定理知，
CE2＝AE2＋AC2－2AE·AC·cos∠CAE
＝1＋3－2×1××＝1，
∴CE＝CF＝1，而BF＝BD＝，BC＝2，
∴在△BCF中，由余弦定理知，
cos∠FCB＝＝＝.
规律方法　空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．
跟踪演练1　(1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是(　　)
A．C∈GH
B．CD与EF是共面直线
C．AB∥EF
D．GH与EF是异面直线
答案　ABD
解析　由图可知，还原正方体后，点C与G重合，
即C∈GH，
又可知CD与EF是平行直线，即CD与EF是共面直线，AB与EF是相交直线(点B与点F重合)，GH与EF是异面直线，故A，B，D正确，C错误．
(2)如图，在正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝2，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是(　　)
A．3 B．3
C．2 D．2
答案　D
解析　将三棱锥由PA展开，如图所示，则∠APA1＝90°，
所求最短距离为AA1的长度，∵PA＝2，
∴由勾股定理可得
AA1＝＝2.
∴虫子爬行的最短距离为2.
考点二　表面积与体积
核心提炼
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．
2．空间几何体的体积公式
(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(2)V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(3)V台＝(S上＋＋S下)h(S上，S下为底面面积，h为高)．
(4)V球＝πR3(R为球的半径)．
例2　(1)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则等于(　　)
A. B．2 C. D.
答案　C
解析　方法一　因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合＝2，可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.
不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，
则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，
所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.
由勾股定理得，
h1＝＝，h2＝＝2，
所以＝＝＝.
方法二　设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，侧面展开图的圆心角分别为n1，n2，
则由＝＝＝2，
得＝＝2.