人教高中数学专题07 导数与隐零点问题（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题07导数与隐零点问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·重庆八中高三阶段练****若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实数根个数是（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】求导数，由题意知是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图像可得答案.
【详解】
，
对于有是方程的两根
令，则，，，不妨设，利用有两根，所以，根据三次函数的性质，可以画出的图像，如图所示，又因为，所以由图可知，有1个解，有2个解
故选：A．
2．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数，再借助导数探讨函数
在有两个零点作答.
【详解】，，由得，，则，令，
依题意，函数在有两个零点，显然，而在上单调递增，
则有，当或，即或时，在上单调递增或单调递减，
即有函数在只有一个零点1，因此，此时当时，，当时，，
函数在上单调递减，在单调递增，则，
要函数在有两个零点，当且仅当在上有一个零点，即有，解得，
所以的取值范围.
故选：C
3．（2022·四川泸州·一模（理））已知函数，若方程恰好有三个不等的实数根，则实数k的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为与的图象有三个交点的问题，利用导数判断的单调性，数形结合，即可求得结果.
【详解】当时，，故不是方程的根；
当时，方程恰好有三个不等的实数根即与的图象有个交点；
又，
当时，，故当时，单调递减，在时，单调递增；
当，时，；时，；且；
又当时，，故在单调递减，
当，时，；时，；
故在同一坐标系下，的图象如下所示：
数形结合可得，当，即时满足题意，故的取值范围为.
故选：D.
二、多选题
4.（2022·福建泉州·高三开学考试）设函数，则下列判断正确的是（　　）
A．存在两个极值点
B．当时，存在两个零点
C．当时，存在一个零点
D．若有两个零点，则
【答案】BD
【分析】利用导数与极值点的关系可判断A，利用与图像结合条件可判断BC，根据零点的概念结合不等式的性质可判断D.
【详解】因为函数的定义域为，
，
设，，
且方程的两根之积为，
在上有一个正根，设为，
在上，，函数单调递增，
在上，，函数单调递减，
所以存在一个极大值点，A错误；
令，即，
函数的零点即为与的交点，
如图所示：
函数图像与轴的交点为，
当时，与有两个不同的交点，即存在两个零点，B正确；
当时，与有两个不同的交点，
所以当时，存在一个零点，此说法不正确，C错误；
若有两个零点，假设，
则有
即
两式相减得：，
，则，
，，
所以，即，D正确.
故选：BD.
5．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数，，设方程的3个实根分别为，，，且，则的值可能为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用导数研究的单调性、极值及区间值域，由题设可知在上必有两个不等的实根(假设)且，结合的性质有且，，进而求目标式的值，即可确定答案.
【详解】由题设，的定义域为，且，
∴当时，，即递减；当时，，即递增.
∴，又在上逐渐变小时逐渐趋近于0，当时且随趋向于0，趋向无穷大.（如图2）
∴的图象如图1、图2：
图1
图2
∵的定义域为，由可得：在上必有两个不等的实根
(假设)且，
∴令，要使的3个实根，则
、，即，可得.
∴由知：，，
∴.
故选：BC.
【点睛】首先应用导数研究的性质，根据有3个实根，则在上必有两个不等的实根，结合的值域求m的范围且、，即可求目标式的范围.
三、填空题
6．（2022·全国·高三阶段练****理））已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【分析】根据极值点的定义，求导求零点，将问题转化为两函数求交点问题，可得答案.
【详解】解：因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不同的实数根，即有两个不同的解．
令，则函数的图象与直线有两个不同的交点．
因为，令，得．
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以．
所以当时，；当时，．
所以函数的图象与的图象有两个不同的交点的充要条件是：，即．故实数
a的取值范围为．
故答案为：.
7．（2023·广东广州·高三阶段练****方程有唯一的实数解，实数的取值范围为______