人教高中数学专题38 导数的隐零点问题必刷100题(解析版).docx

专题38 导数的隐零点问题必刷100题
1．已知函数（其中，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】
（1）答案见解析；
（2）
【分析】
（1）计算，分别讨论、、、时，解不等式和可得单调增区间和单调减区间即可求解；
（2）已知不等式可转化为对恒成立，分离可得，令，利用导数求的最大值即可求解.
（1）
由可得
，
当时，，当时，；当时，，
此时的单调递增区间为，单调递减区间为
当时，由得，，，
①若，即时，恒成立，故在上单调递增；
②若，即时，
由可得：或；令可得：
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，即时，
由可得：或；由可得：
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述：
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为.
（2）
由可得对恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
则，
令，则，则在上单调递减，
又，，故在上有唯一的实根，
不妨设该实根为，
故当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
故，
又因为，所以，，，
所以，故的取值范围为．
2．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若不等式恒成立，求整数a的最小值．
【答案】（1），无极大值；（2）2.
【分析】
（1）将代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，进而求出极值.
（2）不等式等价于在上恒成立，设，利用导数求出的最大值即可求解.
【详解】
解：（1）当时，，
令得（或舍去），
∵当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴，无极大值．
（2），即，
即，
∴，即，
∴原问题等价于在上恒成立，
设，则只需．
由，令，
∵，∴在上单调递增，
∵，
∴存在唯一的，使得，
∵当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
∴，
∴即可．
∴，∴，故整数a的最小值为2
3．已知函数，．
（1）当时，求过点（0，0）且与曲线相切的直线方程；
（2）当时，不等式在上恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求出函数的导函数，设切点坐标为，利用导数的几何意义得到切线方程，再根据切线过点，求出参数，再代入计算可得；
（2）依题意参变分离可得在恒成立，令，则，，利用导数研究函数的单调性与最小值，即可求出参数的取值范围，从而求出的最大值．
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，，设切点坐标为，则切线的斜率，故切线方程为，因为切线过点，所以，即，所以，故切线方程为
（2）当时恒成立，即在时恒成立，因为，所以，所以在恒成立，令，，即，，
所以，令，，则
，所以在上单调递增，由，，所以存在，使得，所以当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，即，即，所以，所以，因为，，所以，所以的最大值为；
4．已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值．
【答案】(1) 在上单调递减，在上单调递增, 当时，有极小值，无极大值. (2) 1
【分析】
(1) 求出，得到，从而可得在上单调递增，且，得出函数的单的区间和极值.
(2)由题意即存在实数，使得成立，设，即，求出函数的导数，得出其单调区间，结合隐零点的代换，可得答案.
【详解】
（1）由，可得
又恒成立，则在上单调递增，且
所以当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，有极小值，无极大值.
(2) 存在实数，使得成立
即存在实数，使得，即成立
设，即
，
所以在上单调递增. ,
所以存在，使得，即，也即
所以当时，，单调递减.
当时，,单调递增.
所以

当时，
所以，由题意，
所以整数的最小值为1.
5．已知函数
（1）证明：在区间上存在唯一的零点
（2）证明：对任意，都有
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，令，再求，确定的单调性后结合零点存在定理可证；
（2）题设不等式化为，令，求导函数，令，再求导得，利用确定的单调性结合零点存在定理确定在唯一零点，也是的最小值值点，说明这个最小值大于0，即证结论成立．
【详解】
证明：设，
，即
故在区间上单调递减