人教专题06 导数-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训（解析版）.docx

专题06 导数应用
解析几何一般作为解答题21题或者是22题形式出现。一般作为压轴题或者是次压轴题出现，难度较大。
1 极值点偏移，拐点偏移
2 函数放缩问题
3 端点效应问题
4 隐零点问题
5 同构问题
6 双变量恒成立使成立问题
7 与三角函数知识交叉问题
8 新定义问题
题型一：极值点偏移，拐点偏移问题
1 已知函数.
(I)若为上的增函数,求的取值范围;
(II)若,且,证明:.（拐点偏移）
【解析】(I),若在上为增函数,则恒成立,即恒成立,设,则,
当时,,当时,,
在上单调递减,在上单调递增,
,故,
实数的取值范围为;
(II)证明:若,由(I)知在上单调递增,由于,已知,不妨设,
设函数,则
,则
,
设,则,
由于,故在上为增函数,
.
在上为减函数,
,
,
而在上为增函数,
,故,从而,即.
题型二：函数放缩问题
1 已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：对任意的，
【解析】（1）由题意，的定义域为，且，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）要证，只需证，即证，
也即，设，则，
所以，从而在上单调递减，在上单调递增，
故，即，故当时，，
设，则，
所以，
故在上单调递减在上单调递增，
又，所以有2个零点和1，其中，
且当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
结合知恒成立，从而，
所以当时，对任意的恒成立.
1 已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，证明：当时，
【解析】（1）若，则，所以，所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）若，则当时，，
令，则，
所以在上单调递增，注意到，
故当时，，当时，，
所以在上单调递減，在上单调递增，所以，
即，两个不等号取等号的条件分别是和，等号不能同时成立，
所以当时，对任意的恒成立.
题型三：端点效应问题
1 设函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，；
（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立.
【解析】（1）由题意，的定义域为，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，要证，只需证，即证，也即，
设，则，所以在上单调递增，
结合知恒成立，所以，故成立.
（3）解法1：由题意，等价于，
令，则恒成立，，
当时，，
设，则，
所以在上单调递增，结合知，即在上单调递增，
又，所以当时，，从而，符合题意，
当时，，由（1）可得在上单调递减，
又，所以当时，，另一方面，由（2）可得当时，恒成立，
从而当时，，不合题意，
当时，，故在上单调递减，结合知，即，不合题意，
综上所述，实数的取值范围为.
1 设函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若当时，，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，
当时，，当时，，所以的减区间为，增区间为.
（2）当时，，设，
则，由（1）可得，所以，故在上单调递增，
又，所以恒成立，从而，符合题意，
当时，，因为，所以，
从而当时，，所以在上单调递减，
而，所以当时，，故在上单调递减，
又，所以当时，，故在上不能恒成立，不合题意，
综上所述，实数的取值范围为.
题型四：隐零点问题
．已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）如果，是曲线上的任意一点，若以，为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
（3）讨论关于的方程的实根的个数情况．
【解析】解：（1）当时，，定义域为，
则
令，得，由，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题意，，
以，为切点的切线的斜率满足，
所以对恒成立．
又当时，，所以的最小值为
（3）由题意，方程化简得
，，
令，则．
当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以在处取得极大值，即最大值，最大值为
（1）
所以当时，即时，的图象与轴恰有两个交点，
方程有两个实根；
当时，的图象与轴恰有一个交点，
方程有一个实根；
当时，的图象与轴无交点，
方程无实根．
1已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且仅有3个零点，求的取值范围．（其中常数，是自然对数的底数）
【解析】解：（1）的定义域为，且，
①若，则，当时，，单调递增，
时，，单调递减，
②若，当时，，
当时，，
当时，，