人教版专题24 极坐标与参数方程专项训练（解析版）.docx

极坐标与参数方程专项测试卷
考试时间：120分钟 满分：100分
1．（2023·四川成都·统考一模）在直角坐标系中，圆心为的圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求圆的极坐标方程；
(2)设点在曲线上，且满足，求点的极径．
【答案】(1)
(2)1或
【分析】（1）根据参数方程，直角坐标方程，极坐标方之间的相互转化关系即可求解；（2）根据极坐标方程和余弦定理以及一元二次方程即可求解.
【详解】（1）由圆的参数方程消去参数，得圆的普通方程为
，圆心．
把代入，
化简得圆的极坐标方程为．
（2）由题意，在极坐标系中，点．
点在曲线上，设．
在中，由余弦定理有，
即．
化简得．
解得或．
故或．
点的极径为1或．
2．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.
【详解】（1）由（t为参数），得，
故曲线C的普通方程为．
由，得，
故直线l的直角坐标方程为．
（2）由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，
设A，B对应的参数分别是，
则，
从而，
故．
3．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在直角坐标系中，已知曲线：
（为参数）.经伸缩变换后的曲线为，以原点О为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)M，N是曲线上的两点，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据伸缩变换求出的普通方程，再根据根据极坐标与直角坐标转化的公式转化为极坐标方程
（2）转化为极角的关系，用三角函数解决.
【详解】（1）为参数，经过伸缩变换
即为参数，所以为参数
，根据极坐标与直角坐标转化的公式，可得
（2）由（1）知曲线的普通方程为
且极坐标方程为，设的极坐标为，
则的极坐标为，
，
又因为，所以
，面积的取值范围为
4．（2023·四川内江·统考一模）在直角坐标系中，已知曲线（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)求曲线与直线交点的极坐标.
【答案】(1)曲线；直线
(2)和
【分析】（1）根据参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标互化原则直接求解即可；
（2）联立曲线与直线的直角坐标方程，可求得交点的直角坐标，根据直角坐标与极坐标互化的方法可求得极坐标.
【详解】（1）由得：，即曲线的普通方程为；
由得：，
则，即直线的直角坐标方程为.
（2）由得：或，即曲线与直线交点为和，
曲线与直线交点的极坐标为和.
5．（2022·河南·校联考模拟预测）在直角坐标系中，曲线的参数方程为
以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)写出的直角坐标方程;
(2)若与只有一个公共点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用和差化积的正弦公式把直线的极坐标方程展开，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求解.
(2)先得出曲线C的普通方程，再联立方程，利用判别式等于0即可求解.
（1）
由的极坐标方程可得，由可知，
直角坐标方程为：.
（2）
由的参数方程可得，
即的普通方程为.
联立方程 得：，
因为直线与曲线只有一个公共点，
所以，
解得：.
6．（2022·四川广安·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A，B两点，证明：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）将曲线参数方程平方相加，即可消去参数得到普通方程，将直线方程展开，利用代入，即可求出直角坐标方程；
（2）由（1）得，设直线参数方程为为参数），代入曲线普通方程中，设交点，对应的参数