人教考向35利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向35 利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题
1．（2022年甲卷理科第10题）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】椭圆的右顶点为，由于点，均在上，且关于轴对称，所以直线，也关于轴对称，即，，．
1．焦点三角形的面积、离心率
(1)设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则
①|PF1||PF2|＝；②S△PF1F2＝b2tan ；③e＝.
(2)设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则
①|PF1||PF2|＝；②S△PF1F2＝；③e＝.
2．中心弦的性质
设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAP·kBP＝e2－1.
3．中点弦的性质
设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.
(1)若圆锥曲线为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－，kAB·kOM＝e2－1.
(2)若圆锥曲线为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝，kAB·kOM＝e2－1.
(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝.
4．焦点弦的性质
(1)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且||＝λ||，则椭圆的离心率等于.
(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于||.
(3)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为，，＋＝，|AB|＝，S△AOB＝.
5.若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点.同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
1.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】由题意可知kAB＝＝1，kMO＝＝，由双曲线中点弦中的斜率规律得kMO·kAB＝，即＝，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线的方程为－＝1.
2.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】D
【解析】c＝3，a2－b2＝9，AB的中点记为P(－1，1)，由kAB·kOP＝e2－1则
(－1)×＝－，∴a2＝2b2，解得a2＝18，b2＝9.
3.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，经过右焦点且斜率为k(k＞0)的直线交椭圆于A，B两点，已知＝3，则k＝(　　)
A．1 B. C. D．2
【答案】B
【解析】　∵λ＝3，e＝，由规律得cos α＝，cos α＝，k＝tan α＝.
4.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝，故S△OAB＝＝＝.
5.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为－，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【解析】　kAP·kBP＝－，e2－1＝－，∴e2＝，e＝.
6.若P是＋＝1上的一点，F1，F2是其焦点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
【答案】
【解析】S△F1PF2＝b2tan ＝64×＝.
7.在椭圆Ax2＋By2＝1上，△PF1F2为焦点三角形，∠PF2O＝45°，∠PF1O＝15°，则椭圆的离心率e＝________．
【答案】
【解析】由公式e