2024年高考数学一轮复习（人教版） 第7章　§7.4　空间直线、平面的平行.docx

§7.4　空间直线、平面的平行
考试要求　1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
⇒a∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
⇒a∥b
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
⇒β∥α
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
⇒a∥b
常用结论
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)
(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　×　)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．(　×　)
教材改编题
1．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
答案　D
解析　若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.
2．(多选)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是(　　)
A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β
B．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l
C．若m⊥α，l⊥m，则l∥α
D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l
答案　AD
解析　对于A，若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，A正确；
对于B，若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，B错误；
对于C，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，C错误；
对于D，由线面平行的性质知正确．
3. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．
答案　平行四边形
解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
题型一　直线与平面平行的判定与性质
命题点1　直线与平面平行的判定
例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD.
证明　方法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴＝＝，即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.
方法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，∴EH∥PD，
又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，
又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.
命题点2　直线与平面平行的性质
例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.