人教专题3.4 导数与函数的单调性-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题3.4 导数与函数的单调性-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•丹东期末）函数f(x)=x22x的单调递增区间为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，2log2e）
C．（﹣∞，2log2e） D．（2log2e，+∞）
【解题思路】求导得f′（x）=x(2−ln2⋅x)2，令f′（x）＞0，即可得出答案．
【解答过程】解：f′（x）=2x⋅2x−2xln2⋅x2(2x)2=2x−ln2⋅x22x=x(2−ln2⋅x)2，
令f′（x）＞0，得x＞02−ln2⋅x＞0或x＜02−ln2⋅x＜0，
解得0＜x＜2log2e或无解，
故选：B．
2．（5分）（2022•临洮县开学）已知函数f（x）的导函数f′（x）＝a（x﹣b）2+c的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用导函数的图象研究函数的单调性和函数的极值的情况排除不合题意的图象即可确定函数图象．
【解答过程】解：由导函数图像可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，故排除B，A；
由f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，x1）单调递增，
因此当x＝0时，函数有极小值，故排除C．
故选：D．
3．（5分）（2022春•丰台区校级期末）若函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在[e，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【解题思路】求出原函数的导函数，把问题转化为a≤lnx+1在[e，+∞）上恒成立，由单调性求得lnx+1的最小值，即可得到实数a的取值范围．
【解答过程】解：由f（x）＝xlnx﹣ax+1，得f′（x）＝lnx+1﹣a，
∵函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在[e，+∞）上单调递增，
∴lnx+1﹣a≥0在[e，+∞）上恒成立，即a≤lnx+1在[e，+∞）上恒成立，
∵lnx+1在[e，+∞）上单调递增，∴（lnx+1）min＝2，
可得a≤2．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
故选：B．
4．（5分）（2022春•华阴市期末）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R满足f（x）+f′（x）＜0，则下列结论一定正确的是（　　）
A．e2f（2）＞e3f（3） B．e2f（2）＜e3f（3）
C．e3f（2）＞e2f（3） D．e3f（2）＜e2f（3）
【解题思路】令F（x）＝exf（x），求导分析单调性，即可判断出大小关系．
【解答过程】解：令F（x）＝exf（x），
F′（x）＝exf（x）+exf′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]，
因为f（x）+f′（x）＜0，
所以F′（x）＜0，
所以F（x）在R上单调递减，
所以F（2）＞F（3），
所以e2f（2）＞e3f（3），
令G（x）=f(x)ex，
G′（x）=f'(x)ex−exf(x)e2x=f'(x)−f(x)ex，
由题可得G′（x）的符号无法确定，G（x）的单调性无法确定，
所以G（2）与G（3）大小无法确定，f(2)e2与f(3)e3无法确定大小，
所以e3f（2）与e2f（3）大小无法确定，
故选：A．
5．（5分）（2022春•遵义期末）已知函数f(x)=lnx−xex，设a＝f（log32），b＝f（log0.20.5），c＝f（ln4），则a，b，c的大小为（　　）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【解题思路】求导得f′（x），分析f（x）的单调性，化简log32，log0.20.5，ln4，并比较大小，即可得出答案．
【解答过程】解：f′（x）=1x−ex−ex⋅x(ex)2=1x−1−xex=ex−x(1−x)xex=ex−x+x2xex，
令g（x）＝ex﹣x+x2，
g′（x）＝ex﹣1+2x在（0，+∞）上单调递增，
所以g′（x）＞g′（0）＝0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝1，
所以f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
log32=log22log23=1log23，
log0.20.5=log20.5log20.2=log212log20.2=−1log20.2=1−log20.2=1log210.2=1log25，
ln4=log24log2e=2log2e=112log2e=1log2e，
因为e＜3＜5，
所以0＜log2e＜log23＜log25，
所以1log2e＞1log23＞