高三数学人教A版选择性必修第二册4.4 数学归纳法（课件38张PPT+作业）.zip

A级　基础巩固
1.在应用数学归纳法证明“凸n边形的对角线为12n(n-3)条”时,第一步检验n= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
解析:因为三角形是边数最少的凸多边形,所以第一步检验n=3.
答案:C
2.利用数学归纳法证明“12n+1+12n+2+…+13n>13(n≥2,且n∈N*)”的过程中,由假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,推导当n=k+1时不等式也成立时,该不等式左边的变化是 (　　)
A.增加13k+3
B.增加13k+1+13k+2+13k+3
C.增加13k+3并减少12k+1+12k+2
D.增加13k+1+13k+2+13k+3并减少12k+1+12k+2
解析:当n=k(k∈N*)时,不等式为12k+1+12k+2+12k+3+…+13k>13;
当n=k+1时,不等式为12k+3+12k+4+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3>13,故左边增加13k+1+13k+2+13k+3,并减少12k+1+12k+2.
答案:D
3.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,则可得当n=k+1时该命题也成立,若已知n=5时命题不成立,则下列说法正确的是①④(填序号).
①当n=4时,该命题不成立;
②当n=6时,该命题不成立;
③当n=1时,该命题可能成立;
④当n=6时,该命题可能成立也可能不成立,但若当n=6时命题成立,则对任意n≥6,该命题都成立.
解析:①“当n=4时,该命题不成立”正确.理由:如果n=4时命题成立,则可推出当n=5时命题成立,与题设矛盾,故n=4时,该命题不成立.
③“当n=1时,该命题可能成立”错误.理由:若当n=1时命题成立,则可得当n=2时命题成立,继续推导得到当n=5时命题成立,这与题设矛盾.
由当n=5时命题不成立,不能确定当n=6时命题是否成立.但若当n=6时命题成立,则可得当n=7时命题成立,继续推导得到对任意n≥6,该命题都成立.故②错误,④正确.
4.已知正项数列{an}满足a1=1,前n项和Sn满足4Sn=(an-1+3)2(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=2n-1.
解析:当n=1时,a1=1;
当n=2时,4S2=(a1+3)2=16,所以S2=4,可得a2=3;
当n=3时,4S3=(a2+3)2=36,所以S3=9,可得a3=5;
当n=4时,4S4=(a3+3)2=64,所以S4=16,可得a4=7;
……
猜想an=2n-1.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1满足an=2n-1.
②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=2k-1,可得Sk=k2,
则当n=k+1时,
因为4Sk+1=(ak+3)2=(2k+2)2=4(k+1)2,
所以Sk+1=(k+1)2,则ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)2-k2=2k+1=2(k+1)-1.
所以当n=k+1时,结论也成立.
结合①②可知,an=2n-1对任何n∈N*都成立.
5.已知数列{an}中,a1=2a,an=2a-a2an-1(n≥2,n∈N*).
(1)写出a2,a3,a4;
(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.
解:(