人教版初中数学专题30 尺规作图问题（解析版）.docx

专题30 尺规作图问题
1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2.尺规作图的五种基本情况
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）作一个角等于已知角；
（3）作已知线段的垂直平分线；
（4）作已知角的角平分线；
（5）过一点作已知直线的垂线。
3.对尺规作图题解法
写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。
4.中考要求
（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.
（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.
（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.
【例题1】（2020•台州）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点
C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（　　）
A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD
【答案】D
【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
【解析】由作图知AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB＝CD
【对点练****2019•丽水模拟题）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（　　）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
【答案】B
【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形。
∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形。
【例题2】（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为　 　．
【答案】5．
【分析】设BE＝AE＝x，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解析】由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AE＝EB，
设AE＝EB＝x，
∵EC＝3，AC＝2BC，
∴BC=12（x+3），
在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，
∴x2＝32+[12（x+3）]2，
解得，x＝5或﹣3（舍弃），
∴BE＝5
【对点练****2019武汉）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为　 　．
【答案】3
【解析】结合作图的过程知：BP平分∠ABD，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴点P到BD的距离等于AP的长，为3。
【例题3】（2020•武威）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
【答案】见解析。
【分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．
（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
【解析】（1）如图，①BE即为所求；
②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴线段EF和AC的数量关系为：EF=12AC，
位置关系为：EF∥AC．
【对点练****2019•广东模拟题）如图，点D在△