人教版2020年中考数学专题复习：三大几何变换.doc

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三大几何变换

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题型一：平移变换
思路导航
平移一般是在需要同时移动两条线段或元素的时候，才考虑的方法．
典题精练
已知：如图，正方形中，是上一点，于点．⑴ 求证：．
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⑵ 求证：．

延长到点，使得，连接、．
⑴ ∵，
∴四边形为平行四边形
∴，
又∵，∴
∴
在和中
∴
∴
⑵ 由⑴知道为等腰直角三角形
∴
在中，
当时，取到等号．
在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点．
⑴ 如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出的值；
⑵ 如图2，CE=kAB，BD=kAE，，求k的值．
图2
图1
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【解析】(1).
(2)过点C作CF∥EB且CF=EB，连接DF交EB于点G, 连接BF.
∴四边形EBFC是平行四边形.
∴CE∥BF且CE=BF.
∴∠ABF=∠A=90°.
∵BF=CE=kAB.∴.
∵BD=kAE，
∴.
∴.
∴∽.
∴,∠GDB=∠AEB.
∴∠DGB=∠A=90°.
∴∠GFC=∠BGF=90°.
∵.
∴.
∴k=.
题型二：轴对称变换
典题精练
⑴如图，已知正方形纸片的边长为，的半径为，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使恰好与相切于点（与除切点外无重叠部分），延长交边于点，则的长是 ．
⑵将弧沿弦折叠交直径于点，若，则的长是______________．
⑴ 过点作于．
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则四边形是矩形，∴，
设，则根据对称性可知
∴，
在中，，
∴，即，
解得，∴．
⑵ 将半圆还原，点关于的对称点为，
作于．
根据“翻折”的性质可知，
则
∵，
则，
BC2=BH·AB
∴．
把正方形沿着折叠使点落在上，交于点，已知正方形的边长为，求的周长．
在上取点，使，连接．
∵，∴
由翻折得对称性可知
∴
在和中
∴
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∴，
在和中
∴
∴
∴的周长为．
题型三：旋转变换
典题精练
在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
⑴ 当点O为AC中点时，
①如图1， 三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2， 三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
⑵ 当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若，求的值．
C
O
B
A
O
E
图1
F
B
A
O
C
E
F

A
B
C
E
F
图2
图3
C
B
A
O
E
F
【解析】（1）
猜想：.
成立.
证明：连结OB.
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∵AB=BC , ∠ABC=90°,O点为AC的中点，
∴,∠BOC=90°,∠ABO=∠BCO=45°.
∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC. 又∵∠EBO=∠FCO，
∴△OEB≌△OFC（ASA）.∴BE=CF.
又∵BA=BC, ∴AE=BF.
在RtΔEBF中，∵∠EBF=90°, ..
（2）解：如图，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N.
A
O

B
C
E
F
M
N
∵∠B=90°, ∴∠MON=90°.
∵∠EOF=90°,
∴∠EOM=∠FON.
∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF.
∴
∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，
∴△AOM∽△OCN ∴.
∵， ∴.
和是绕点旋转的两个相似三角形，其中与、与