人教版高中数学第3讲　基本不等式及其应用.doc

第3讲　基本不等式及其应用
一、选择题
1.下列不等式一定成立的是(　　)
A.lg>lg x(x>0) B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C.x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＜1(x∈R)
解析　当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确.
答案　C
2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A.[0，2] B.[－2，0]
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析　2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.
答案　D
3.(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则·的最小值为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
解析　∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号.故选C.
答案　C
4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.≤ B.＋≤1
C.≥2 D.a2＋b2≥8
解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥
，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.
答案　D
5.(2015·湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
解析　依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.
因为＋＝，所以≥，即ab≥2，
所以ab的最小值为2，故选C.
答案　C
6.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)
A. B. C.2 D.
解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案　C
7.(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)
A.4 B.2 C.8 D.16
解析　由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，
则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立.故选B.
答案　B
8.(2017·福州六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)
A. B. C.1 D.2
解析　由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号.所以解得a＝1.
答案　C
二、填空题
9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析　∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，
解得≥3，即ab≥9.
答案　[9，＋∞)
10.(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为____