易错点04 导数及其应用-备战2022年高考数学考试易错题人教版.docx

易错点04 导数及其应用
易错题【01】不会利用等价转化思想及导数的几何意义研究曲线的切线
求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.
易错题【02】对极值概念理解不准确致
对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是在x0点两侧导数异号,即f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符号：“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值,而不仅是f′(x0)＝0.f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑f′(x0)＝0,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．
易错题【03】研究含有参数的函数单调性分类标准有误
若函数的单调性可转化为解不等式
求解此类问题,首先根据a的符号进行讨论,当a的符号确定后,再根据是否在定义域内讨论,当都在定义域内时在根据的大小进行讨论.
易错题【04】不会利用隐零点研究函数的性质
函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.
利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为,再利用导函数的单调性确定所在区间,最后根据,研究,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若中含有参数a,关系式是关于的关系式,确定的合适范围,往往和的范围有关.
01
(2022新高考1卷T7)若过点可以作曲线的两条切线,则　　
A． B． C． D．
【警示】不会把切线条数有2条,转化为关于的方程有2个实根.
【答案】D
【问诊】设过点的切线与曲线切于,对函数求导得,所以曲线在点处的切线方程为,即,由题意可知,点在直线上,所以,过点可以作曲线的两条切线,则方程有两个不同实根,令,则.当时,,此时函数单调递增,且,当时,,此时函数单调递减,
所以,,如图所示,当直线与曲线的图象有两个交点时,当时,直线与曲线的图象有两个交点.故选D.
【叮嘱】过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.
1. (2021届陕西西安中学高三期中)若函数存在平行于轴的切线,则实数取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数存在平行于轴的切线,所以在上有解,即在上有解,因为,所以.
2.(2021届江苏苏州市高三月考)若过点可以作曲线的两条切线,则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设切点为,其中,因为,则,故切线斜率为,
所以,曲线在点处的切线方程为,即,
将点的坐标代入切线方程可得,
设,则直线与曲线有两个交点.
①若,则,即函数在上单调递增,不合乎题意；
②若,则,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,所以,.
由题意可知,即.故选B.
02
已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10,则a＋b＝________.
【警示】忽视了条件的等价性,“f′(1)＝0”是“x＝1为f(x)的极值点”的必要不充分条件．
【答案】－7
【问诊】f′(x)＝3x2＋2ax＋b,由x＝1时,函数取得极值10,得
,解得或
当a＝4,b＝－11时,f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反,符合题意．当a＝－3,b＝3时,f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同,所以a＝－3,b＝3不符合题意,舍去．综上可知a＝4,b＝－11,∴a＋b＝－7.
【叮嘱】处理可导函数在有极值问题,除了保证,还要检验在左右两侧函数值的符号.
(2022全国1卷T12)设,若为函数的极大值点,则　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令,解得或,即及是的两个零点,
当时,由三次函数的性质可知,要使是的极大值点,则函数的大致图象如下图所示,
则；
当时,由三次函数的性质可知,要使是的极大值点,则函数的大致图象如下图所示,
则；综上,．故选．
2．(2021届山西长治市高三月考)已知函数在处取得极值0,则( )
A．2 B．7 C．2或7 D．3或9
【答案】B
【解析】,,根据题意：,,解得或,当时,,函数单调递增,无