易错点12 圆锥曲线-备战2022年高考数学考试易错题人教版.docx

易错点12 圆锥曲线
易错题【01】求离心率考虑不全面致误
(1)当椭圆与双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上时求离心率要分两种情况分别求解；
(2)求椭圆的离心率范围要注意;
(3)求双曲线的离心率范围要注意，
(4)若把离心率表示成某一变量的函数，利用函数性质求离心率范围，要注意自变量范围的限制；
(5)根据几何图形求离心率或离心率范围要注意验证某些特殊点或特殊图形是否符合条件.
易错题【02】忽略判别式致误
根据直线与圆锥曲线有2个公共点求解问题，把直线方程与圆锥曲线联立整理成关于x或y的一元二次方程后不要忽略这一条件，若圆锥曲线为双曲线还有保证二次项系数不能为零.
易错题【03】忽略椭圆中x或y的取值范围致误
求解与椭圆上的动点有关的距离范围问题，或求某一式子的范围，要注意，的限制．
易错题【04】设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在
利用直线与圆锥曲线的位置关系求解解析几何问题，是高考解答题中的常见题型，当直线为动直线时，常设出直线的点斜式方程或斜截式方程，注意在设方程式要判断是否存在，若斜率有可能不存在，要分2种情况讨论.
01
双曲线－＝1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|
＝2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________．
【警示】本题错误解法是：如图,设|PF2|＝m,∠F1PF2＝θ (0<θ<π),
由条件得|PF1|＝2m,
|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ,
且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.
所以e＝＝.
又－1<cos θ<1,所以e∈(1,3)．
【问诊】漏掉了P在x轴上的情况,即∠F1PF2＝π时的情况．
【答案】设|PF2|＝m,∠F1PF2＝θ (0<θ≤π),
当点P在右顶点处时,θ＝π.
e＝＝＝＝3.
当θ≠π,由条件,得|PF1|＝2m,|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ,
且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.
所以e＝＝.
又－1<cos θ<1,所以e∈(1,3)．
综上,e∈(1,3]．
【叮嘱】对圆锥曲线上点的特殊位置(如顶点)不能忽略,综合考虑所有可能情况求离心率范
1．(2022届重庆市高三上学期质量检测)椭圆的左顶点､左焦点､上顶点分别为，若坐标原点关于直线的对称点恰好在直线上，则椭圆的离心率( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意可知是的角平分线，
由角平分线性质可知，代入可得，
故，
构造函数
，所以在区间上递减.
，
由函数的零点存在性定理可知.故选B
2.(2021.山西省阳泉市高三上学期期末)两数1､9的等差中项是a,等比中项是b,则曲线的离心率为( )
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【解析】由题意,,若,曲线方程为,表示椭圆,离心率为,时,曲线方程为,表示双曲线,离心率为．故选A．
02
已知双曲线x2－＝1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与已知双曲线交于Q1,Q2两点,且B是线
段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由．
【警示】本题错误解法是：设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),
代入双曲线方程得
①－②化简得k＝＝.
∵中点B(1,1),∴x1＋x2＝2,y1＋y2＝2,∴k＝2.
∴满足题设的直线存在,且方程为y－1＝2(x－1),
即2x－y－1＝0.
【问诊】错解中没有判断直线2x－y－1＝0和双曲线x2－＝1是否相交．
【答案】设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),
代入双曲线方程得
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)．
∵B(1,1)为Q1Q2的中点,∴k＝＝2.
∴直线方程为y－1＝2(x－1),即2x－y－1＝0.
联立消去y得2x2－4x＋3＝0.
Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0,∴所求直线不存在．
【叮嘱】用点差法求直线方程时,只是承认了直线与曲线相交,而事实上,存在不相交的可能,所以在求出直线方程后,应利用判别式判断直线与曲线是否相交．当然,就本题来讲,也可以不用点差法求解．直接设直线的方程,利用待定系数法求解．遇见直接用直线与曲线方程联立解方程组的问题,就比较容易联想用判别式求解．
(2022届湖南省长沙市高三上学期月考)过点作圆的切线，两切线分别与轴交于点，(在的左边)，以，为焦点的椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过点的直线与椭圆交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的方程.
【解析】(1)设切线方程为，则，解得，