易错点10 立体几何-备战2022年高考数学考试易错题人教版.docx

易错点10 立体几何
易错题【01】确定点线面位置关系考虑不全面
确定空间中点线面位置关系,热点是线线、线面位置关系,空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决,确定位置关系时要考虑到所有可能,有时也可构造正方体等模型,直观进行判断.
易错题【02】判断或证明线面平行忽略线在面外
判断或证明线面平行,可以利用线面平行的定义；也可以利用线面平行的判定定理,面面平行的性质定理,在利用线面平行的判定定理判断或证明线面平行时一定要注意条件中是平面外一条直线与平面内一条直线平行,才能推出平面外的该直线与平面平行,若仅有, ∥,推不出 ∥,因为b可能在内.
易错题【03】证明垂直问题推理不严谨
在利用线面垂直的判定定理判断或证明线面垂直是要注意是一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,尤其是“相交”这一条件不可缺少.
易错题【04】利用表面展开图求多面体表面上的最短距离考虑不全面
求多面体表面上的最短距离一般是把多面体表面展开成一个平面,利用平面上两点之间的最短距离是连接两点的线段长,但是要注意展开图的所有可能情况,防止考虑不全面出错.
易错题【05】误认为两平面法向量的夹角就是二面角
设n1,n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．所以不要认为向量n1与n2的夹角就是二面角,求解时要结合图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
01
已知A、B、C、D、E五点中,A、B、C、D共面,B、C、D、E共面,则A、B、C、D、E五点一定共面吗？
【警示】本题错误解法是：因为A、B、C、D共面,所以点A在B、C、D所确定的平面内,因为B、C、D、E共面,所以点E也在B、C、D所确定的平面内,所以点A、E都在B、C、D所确定的平面内,即A、B、C、D、E五点一定共面．
【问诊】错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件,实际上B、C、D三点还可能共线．
【答案】(1)如果B、C、D三点不共线,则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面,所以点A在平面α内,因为B、C、D、E共面,所以点E在平面α内,所以点A、E都在平面α内,即A、B、C、D、E五点一定共面．
(2)如果B、C、D三点共线于l,若A、E都在l上,则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E中有且只有一个在l上,则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E都不在l上,则A、B、C、D、E五点可能不共面．
【叮嘱】在确定空间中点、线、面的位置关系时,如果对于条件所给的位置关系考虑不全面,会出现遗漏情况,碰到此类问题要注意特殊情形,如点共线或点共面的情形,线共点的情形等.
1.(2021届陕西省渭南市高三质量检测)已知是两条异面直线,直线与都垂直,则下列说法正确的是( )
A．若平面,则 B．若平面,则
C．存在平面,使得 D．存在平面,使得
【答案】C
【解析】由a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,知：
在A中,若c⊂平面α,则a与α相交、平行或a⊂α,故A错误；
在B中,若c⊥平面α,则a,b与平面α平行或a,b在平面α内,故B错误；
在C中,由线面垂直的性质得：存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α,故C正确；
在D中,若存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α,则a∥b,与已知a,b是两条异面直线矛盾,故D错误．故选C.
2．如图,在四面体ABCD中,AB=CD,M、N分别是BC、AD的中点,若AB与CD所成角的大小为60°,则MN与CD所成角的大小为( )
A．30° B．60°
C．30°或60° D．15°或60°
【答案】C
【解析】
取中点,连接、,∵在四面体中,,M、N分别是BC、AD的中点,AB与CD所成角的大小为60°,∴,
　,
∴是和所成的角或所成角的补角,
　或,
∴或
∴MN与CD所成角为或．故选C．
02
如图,四棱锥P－ABCD中,AD∥BC,AB＝BC＝AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
【警示】本题错误解法是：证明　(1)连接EC,
∵AD∥BC,BC＝AD,
∴BC=AE,且BC∥AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点．
又