易错点08 数列-备战2022年高考数学考试易错题人教版.docx

易错点08 数列
易错题【01】利用关系求忽略
已知数列{an}的前n项和Sn,求通项an与Sn的关系中,an＝Sn－Sn－1,成立的条件是n≥2,求出的an中不一定包括a1,而a1应由a1＝S1求出,然后再检验a1是否在an中,这是一个典型的易错点．
易错题【02】利用等比数列求和忽略的情况
注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，,若公比未知,则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
易错题【03】裂项求和剩余项出错
用裂项相消法求和时,裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项．
易错题【04】混淆数列与函数的区别
数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题,要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。
01
(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，
已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
【警示】本题易错之处是在由求时忽略对的讨论
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【问诊】(1)由已知得,且，,
取,由得,由于为数列的前n项积，
所以,
所以，所以,
由于所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
(2)由(1)可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,,
当n=1时，(易错之处),
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴．
【叮嘱】。
1.(2022届安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三上学期联考)数列中的前n项和，数列的前n项和为，则( ).
A．190 B．192 C．180 D．182
【答案】B
【解析】当时，；当时，，
经检验不满足上式，所以，
，则，.故选B.
2. 已知各项均为正数的数列的前项和为，其中为常数.
(1)证明：；
(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)证明：因为，所以，
因为，所以，即，
可得.
又因为，可得，所以，故.
(2)由(1)知，当时，，
两式相减得，即
所以数列从第二项起成等比数列，且公比.
又由，即，所以，可得，
所以，
若数列是等比数列，则，可得，
经验证得时，数列满足，
所以当时，数列是等比数列.
02
【例4】求数列的前n项和．
【警示】本题易错之处是忽略考虑的情况
【答案】
【问诊】当时,；
当时,由于,[
[来源:学,科,网]
两式相减得
=
.
所以
【叮嘱】利用等比数列前n项和公式求解数列问题，要注意判断公比是否可以为1
2．(2022届辽宁省大连市高三上学期期中)等比数列的前项和为，若，则( )
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选A
2.(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期测试)已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，符合题意；当时，恒成立，当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；
当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；
当时，若为偶数，则不等式变形得，，即，
若该不等式恒成立，则，即，所以设，
，，
所以当时，，此时，
此时该不等式不可能恒成立；
当时，，若该不等式恒成立，只需，
解得(舍去)或，综上，；
若为奇数，不等式变形得，，满足题意；
综上所述，实数的取值范围是．
03
【例5】求和： ________．
【警示】本题错误解法是：
=
=.
【问诊】错误原因是裂项相消后,忽略前面与后面各剩余2项．
正确解法是：=
=.
【叮嘱】裂项求和要注意相消后剩余哪些项，不熟练时可以多写几项，发现规律。
1．(2022届广东省仲元七校高三上学期11月月考)设数列的前n项和，，，成等比数列.
(1)求数列的通项；
(2)数列的前n项和为，求数列的前n项和为.
【解析】(1)，当时，，当时，
，∴，，
，由题知，
舍)或
，当n＝1时，也满足上式，；
(2)由(1)知，
∴
2. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知公差不为0的等差数列的前项和为，是与的等比中项，______．
(1)求的通项