人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题5 第2讲　概　率.docx

第2讲　概　率
[考情分析]　1.考查古典概型、几何概型及概率与统计的综合问题.2.概率与统计的综合问题常以解答题的形式出现，中等难度．选择题、填空题考查古典概型、几何概型，中低等难度．
考点一　古典概型
核心提炼
1．古典概型条件
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
P(A)＝.
例1　(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝＝.故选C.
(2)(2022·茂名模拟)甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要，甲连续工作2天后休息1天，乙连续工作3天后休息1天，丙连续工作4天后休息1天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　甲工作的日期为1,2,4,5,7,8,10，…，29，
乙工作的日期为1,2,3,5,6,7,9,10，…，30，
丙工作的日期为1,2,3,4,6,7,8,9，…，29，
三人在同一天工作的日期为1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29，
∴三人同一天工作的概率为P＝＝.
规律方法　(1)求古典概型的概率的关键是正确列举出所有基本事件和待求事件包含的基本事件．
(2)两点注意：①对于较复杂的题目，列出事件时要正确分类，分类时应不重不漏．
②当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率．
跟踪演练1　(1)(2022·赣州模拟)已知正方形ABCD的中心为M，从A，B，C，D，M五个点中任取三点，则取到的三点构成直角三角形的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　从A，B，C，D，M五个点中任取三点的基本事件有ABC，ABD，ABM，ACD，ACM，ADM，BCD，BCM，BDM，CDM，共10个，其中可构成直角三角形的有ABC，ABD，ABM，ACD，ADM，BCD，BCM，CDM，共8个，
概率为P＝＝.
(2)(2022·临川模拟)将各个面涂上红色的正方体锯成64个大小相同的正方体，则这些正方体中至少有两个面涂有红色的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　如图，两面是红色的正方体共有24个，三面是红色的正方体有8个，共32个，
故至少有两面是红色的正方体的概率为＝.
考点二　几何概型
核心提炼
1．几何概型条件
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝.
例2　(1)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于，即x＋y>，则
在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于”即x＋y>中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型计算公式得P(A)＝＝.
(2)(2022·太原模拟)如图，三棱锥P－ABC的四个面都为直角三角形，PA⊥平面ABC，PA＝，AC＝BC＝1，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥P－ABC内的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　根据题意，三棱锥P－ABC外接球的球心为PB的中点，PB＝2，
设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，
则R＝1，
由于三棱锥P－ABC的体积为VP－ABC＝××1×1×＝，三棱锥P－ABC外接球的体积为V球
＝πR3＝，所以P＝＝.
规律方法　(1)几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解．
(2)求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需