人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第3部分 思想方法　第3讲　分类讨论思想.docx

第3讲　分类讨论思想
思想概述　分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
方法一　由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．
例1　(1)(2022·滁州质检)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为(　　)
A．x＝0
B．15x－8y－8＝0
C．3x－4y＋4＝0或x＝0
D．3x＋4y－4＝0或x＝0
思路分析　设直线方程→k存在，l：y＝kx＋1→圆心到直线l的距离d＝1求解→斜率不存在，l：x＝0.
答案　D
解析　因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，
所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，
因为|AB|＝2，
所以圆心到直线的距离为d＝1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心(－1,3)到直线的距离为1，满足条件；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，
圆心到直线l的距离为d＝，
所以＝1，解得k＝－，
此时直线方程为3x＋4y－4＝0，
综上，所求直线方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.
(2)已知数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3，a1＝1，a2＝2，数列{an}的前n项和为Sn，则S30等于(　　)
A．351 B．353 C．531 D．533
思路分析　an＋2＋(－1)nan＝3→当n为奇数时，an＋2－an＝3→{an}中的奇数项构成等差数列→当n为偶数时，an＋an＋2＝3→{an}中连续两偶数项和为定值2
答案　B
解析　依题意，an＋2＋(－1)nan＝3，
显然，当n为奇数时有an＋2－an＝3，
即有a3－a1＝3，a5－a3＝3，…，a2n＋1－a2n－1＝3，
令bn＝a2n－1，故bn＋1－bn＝3，
所以数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，
故bn＝3n－2；
当n为偶数时有an＋2＋an＝3，
即a4＋a2＝3，a6＋a4＝3，…，a2n＋2＋a2n＝3，
于是，S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋
(a2＋a4＋…＋a30)
＝(b1＋b2＋…＋b15)＋[a2＋(a4＋a6)＋…＋(a28＋a30)]
＝×15＋2＋7×3＝353.
批注　涉及数列中(－1)n的问题，一般需分奇偶讨论，当n为奇数时，首项是a1，an是第个奇数项；当n为偶数时，首项是a2，an是第个偶数项．
规律方法　解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．
方法二　由图形位置或形状引起的讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析