人教版高中数学大题保分练2.docx

大题保分练2
1．(2022·武汉模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C＋ccos A＝1，B＝.
(1)求b的值；
(2)求△ABC面积的最大值．
解　(1)在△ABC中，由正弦定理知，
＝＝＝2R，
∵acos C＋ccos A＝1，
∴2R(sin Acos C＋cos Asin C)＝1，
即2Rsin B＝1，
∴b＝2Rsin B＝1.
(2)在△ABC中，由余弦定理得
cos B＝＝，
∴a2＋c2＝ac＋1≥2ac(当且仅当a＝c时取“＝”)，
∴(2－)ac≤1，
∴ac≤2＋，
又∵S△ABC＝acsin B＝ac，
∴S△ABC≤，
即△ABC面积的最大值为.
2．(2022·苏州四校联考)甲、乙相约进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立．
(1)求比赛结束，乙得4分的概率；
(2)设比赛结束，甲得X分，求X的分布列与均值．
解　(1)若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以2∶1获胜，故前两局比赛，甲胜一场，败一场，最后一局比赛，甲胜．
则比赛结束，乙得4分的概率为
C×××＝.
(2)若甲连胜两局结束比赛，甲得6分，
其概率为2＝；
若甲连败两局结束比赛，甲得2分，
其概率为2＝；
若甲以2∶1结束比赛，甲得6分，
其概率为C×××＝；
若乙以2∶1结束比赛，甲得4分，
其概率为C×××＝，
故X的分布列为
X
2
4
6
P
E(X)＝2×＋4×＋6×＝.
3.(2022·唐山模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，D为BC的中点，E为棱AA1上一点，AD⊥DC1.
(1)求证：BC⊥平面A1AD；
(2)若二面角A1－DE－C1的大小为30°，求直线CE与平面C1DE所成角的正弦值．
(1)证明　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴CC1⊥AD，
又AD⊥DC1，CC1∩DC1＝C1，
CC1⊂平面BCC1B1，DC1⊂平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
又BC⊂平面BCC1B1，∴AD⊥BC.
由直三棱柱的性质知，AA1⊥平面ABC，
BC⊂平面ABC，
∴AA1⊥BC，
又AD∩AA1＝A，AD⊂平面A1AD，
AA1⊂平面A1AD，
∴BC⊥平面A1AD.
(2)解　由(1)知，AD⊥BC，
又D为BC的中点，∴AB＝AC.
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，C(1,0,0)，B(－1,0,0)，A(0，，0)，C1(1,0,2)，
设AE＝t(0≤t≤2)，则E(0，，t)．
由(1)知，平面A1DE的一个法向量可取＝(2,0,0)，
设平面C1DE的法向量为n＝