人教版高中数学大题保分练3.docx

大题保分练3
1．(2022·邯郸模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求B；
(2)若a＝2，c＝1，________，求BD.
在①D为AC的中点；②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)在△ABC中，由正弦定理得，
sin Bsin A＝sin A－sin Acos B.
因为sin A≠0，
所以sin B＝1－cos B，
所以sin B＋cos B＝2sin＝1，
即sin＝.
又B∈(0，π)，则B＋＝，
所以B＝.
(2)选择条件①：因为＝，
所以||2＝(||2＋2·＋||2)
＝×＝，
所以||＝，即BD＝.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，
所以S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，
则c×BDsin ＋a×BDsin 
＝a×csin ，
即×1×BDsin ＋×2×BDsin 
＝×2×1×sin ，
解得BD＝.
2．(2022·长春模拟)为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们的竞赛成绩分布如下：
成绩X
人数
[40,50)
2
[50,60)
a
[60,70)
22
[70,80)
b
[80,90)
28
[90,100]
a
(1)求a，b的值，并补全频率分布直方图；
(2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)以频率估计概率，若P(X≥－s)∈(0.8,0.9]，社区获得“反诈先进社区”称号，若P(X≥－s)∈(0.9,1]，社区获得“反诈先锋社区”称号，试判断该社区可获得哪种称号(s为竞赛成绩的标准差)?
解　(1)由题可知，a＝0.004×10×100＝4，b＝100－(2＋4＋22＋28＋4)＝40，
所以这100名居民竞赛成绩在[70,80)内的频率/组距为÷10＝0.040，
补全频率分布直方图如图．
(2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数
＝45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝75，
估计该社区居民竞赛成绩的方差
s2＝(45－75)2×＋(55－75)2×＋(65－75)2×＋(75－75)2×＋(85－75)2×＋(95－75)2×＝100.
(3)由(2)可得s＝＝10，
所以P(X≥－s)＝P(X≥65)＝1－P(X<65)＝1－(0.002×10＋0.004×10＋0.022×5)＝0.83，
因为0.83∈(0.8,0.9]，
所以该社区可获得“反诈先进社区”称号．
3.(2022·衡水中学模拟)如图所示的多面体是由三棱锥A－BDE与四棱锥D－BCFE组合而成的，其中EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是边BC的中点．
(1)求证：BD⊥EG；
(2)求二面角G－DE－F的余弦值．
(1)证明　依题意，EF⊥平面AEB，
AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，
则有EF⊥