人教版高中数学大题保分练5.docx

大题保分练5
1．(2022·洛阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且4an＝3Sn＋2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)∵4an＝3Sn＋2，①
∴当n＝1时，4a1＝3a1＋2，即a1＝2，
当n≥2时，4an－1＝3Sn－1＋2.②
由①－②得4an－4an－1＝3an，即an＝4an－1，
∴数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴an＝2×4n－1.
(2)由(1)知log2an＝log2(2×4n－1)＝log222n－1
＝2n－1，
∴bn＝an＋log2an＝2×4n－1＋2n－1，
∴Tn＝＋＝＋n2.
2．(2022·湖北新高考协作体联考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，BD＝CD＝.
(1)求sin∠CBD的值；
(2)若△ABD的面积为4，求AD的长．
解　(1)在△BCD中，由正弦定理知，
＝，
所以BD·sin∠CBD＝CD·sin∠BCD，
因为∠BCD＝135°，BD＝CD＝，
所以sin∠CBD＝.
(2)在△BCD中，∠BCD＝135°，则∠CBD为锐角，
因为sin∠CBD＝，
所以cos∠CBD＝，
在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，
则∠CBA＝45°，
所以sin∠ABD＝sin＝，
显然∠ABD为锐角，
所以cos∠ABD＝，
因为S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝4，
所以AB＝4，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝10，
所以AD＝.
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(4,0)，短轴长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点T(0,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AT的中点为P，线段BT的中点为Q，且|OP|＝|OQ|(O为坐标原点)，求所有满足条件的直线l的方程．
解　(1)由题意知2b＝4，c＝4，
则b＝2，a2＝b2＋c2＝20，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋1.
联立
消去y得(1＋5k2)x2＋10kx－15＝0，
则Δ＝400k2＋60>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
∵|OP|＝|OQ|，
∴2＋2＝2＋2，
即(x1－x2)(x1＋x2)
＝－k(x1－x2)[k(x1＋x2)＋4]．
∵x1≠x2，