人教版高中数学第2周.docx

第二周
[周一]
1．(2022·山东部分学校联考)在数列{an}中，a1＝2，且an＋1－2n＋1＝an－2n＋1.
(1)证明：数列{an－n＋1}是等比数列；
(2)若bn＝log4(an－n＋1)，求数列的前n项和Sn.
(1)证明　∵an＋1－2n＋1＝an－2n＋1，
∴(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝1，
∵a1＝2，∴a1－2＝0，∴数列{an－2n}是首项为0，公差为1的等差数列，
∴an－2n＝n－1，∴an－n＋1＝2n，
则＝2，
∴数列{an－n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)解　由(1)知an－n＋1＝2n，
则bn＝log4(an－n＋1)＝，
∴＝＝4，
∴Sn＝4×＝.
[周二]
2．(2022·济南模拟)如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点P的位置，如图2，PB＝.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；
(2)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值．
(1)证明　因为BC＝1，PC＝2，PB＝，
则BC2＋PB2＝PC2，于是得BC⊥PB，
又BC⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，
因此BC⊥平面PAB，而BC⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面PAB.
(2)解　在平面PAB内过点P作PO⊥AB于点O，连接CO，如图，
由(1)知，平面ABC⊥平面PAB，
而平面ABC∩平面PAB＝AB，
则有PO⊥平面ABC，
所以∠PCO是直线PC与平面ABC所成的角，
在△PAB中，PA2＋PB2＝4＝AB2，
则∠APB＝90°，PO＝＝，
在Rt△POC中，PC＝2，
则有sin∠PCO＝＝，
所以直线PC与平面ABC所成角的正弦值为.
[周三]
3．(2022·南通模拟)已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球．现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回地摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分．
(1)若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；
(2)若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
解　(1)连续取3个球有A种方法，
从中连续取3个球，红、白、黑各取一个有
CCCA种方法，
则恰好取到3种颜色球的概率
P＝＝＝.
(2)由题意得，随机变量ξ的所有可能取值为4,5,6,7,8.
当取到两个红球和一个白球时，ξ＝4，
则P(ξ＝4)＝＝＝，
当取到两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球时，ξ＝5，
则P(ξ＝5)＝＝＝，
当取到一个红球、一个白球和一个黑球时，ξ＝6，
则P(ξ＝6)＝＝＝，
当取到一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球时，ξ＝7，
则P(ξ＝7)＝＝＝，
当取到两个黑球和一个白球时，ξ＝8，
则P(ξ＝8)＝＝＝.
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
4
5
6
7
8
P
[周四]
4．(2022·青岛模拟)在平面直角坐标系中，点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝±2，点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知A(1