人教版高中数学第3周.docx

第三周
[周一]
1．(2022·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C＋
ccos A＝，a＝b，记△ABC的面积为S.
(1)求a；
(2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由．
条件：①S＝(a2＋c2－b2)；②bcos A＋a＝c；③bsin A＝acos.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)在△ABC中，因为acos C＋ccos A＝，
所以a·＋c·＝，
解得b＝，
所以a＝b＝.
(2)选择①，S＝(a2＋c2－b2)，
则acsin B＝(a2＋c2－b2)，
所以acsin B＝×2accos B，
化简得tan B＝.
又0<B<π，故B＝.
由＝，
得sin A＝＝.
因为a>b，所以A＝或A＝，
故满足条件的△ABC的个数为2.
选择②，bcos A＋a＝c，
则sin Bcos A＋sin A＝sin C，
即sin Bcos A＋sin A＝sin(A＋B)，
化简得sin A＝sin Acos B，
因为sin A≠0，
所以cos B＝，
解得B＝.
由＝，
得sin A＝＝1，
所以A＝，故满足条件的△ABC的个数为1.
选择③，bsin A＝acos，
则sin Bsin A＝sin Acos.
又sin A≠0，所以sin B＝cos，
所以sin B＝cos B＋sin B，
化简得tan B＝.
又0<B<π，故B＝.
由＝，
得sin A＝＝>1，无解，不存在满足条件的三角形．
[周二]
2．“学****强国”学****平台采取积分制管理，内容丰富多彩，涉及政治、经济、文化、社会、生态，表现形式有图片、文字、视频、考试、答题、互动等，让人们的生活充实而有质量．某市为了了解教职工在“学****强国”平台的学****情况，从该市教职工中随机抽取了200人，统计了他们在“学****强国”中获得的积分(单位：千分)，并将样本数据分成[1,3)，[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13]六组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)以样本估计总体，该市教职工在“学****强国”获得的积分近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，取σ＝2.3.若该市恰有1万名教职工，试估计这些教职工中积分ξ位于区间[4.4,11.3]内的人数；
(2)若以该市样本的频率估计邻市的概率(邻市对教职工学****学****强国”的要求与该市相同，教职工的人数也与该市教职工的人数相同)，若从邻市教职工中随机抽取20人，设积分在3千分至9千分内的教职工人数为X，求X的均值E(X)．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解　(1)由题意知样本的平均数为2×0.025×2＋4×0.075×2＋6×0.2×2＋8×0.125×2＋10×0.05×2＋12×0.025×2＝6.7，∴μ≈6.7.
∵σ＝2.3，
∴P