人教版高中数学第4周.docx

第四周
[周一]
1．已知数列{an}满足an＋an＋2＝2an＋1，n∈N*，且a1＝1，a5＋a7＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记在区间(3m,3m＋1)(m∈N*)上，{an}的项数为bm，求数列{bm}的前m项和．
解　(1)由题意知an＋2－an＋1＝an＋1－an，
则{an}为等差数列，设其公差为d，
由a5＋a7＝22，
得a1＋4d＋a1＋6d＝22，又a1＝1，
∴d＝2，则an＝2n－1.
(2)由题意得，
bm＝－1＝3m－1，
∴b1＋b2＋…＋bm
＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3m－1)
＝31＋32＋…＋3m－m
＝3×－m
＝－m－.
[周二]
2．(2022·临沂模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，过AB1E的平面截此正方体，得到如图所示的多面体，F为棱CC1上的动点．
(1)点H在棱BC上，当CH＝CB时，FH∥平面AEB1，试确定动点F在棱CC1上的位置，并说明理由；
(2)若AB＝2，求点D到平面AEF的最大距离．
解　(1)设平面BCC1B1与平面AEB1的交线为l，
因为FH∥平面AEB1，
平面BCC1B1∩平面AEB1＝l，
FH⊂平面BCC1B1，所以FH∥l.
由正方体ABCD－A1B1C1D1知，
平面ADD1E∥平面BCC1B1，
又因为平面ADD1E∩平面AEB1＝AE，
所以AE∥l，所以AE∥FH，
如图，取BC的中点G，连接C1G，
易知AE∥GC1，所以GC1∥FH，
又因为H为CG的中点，所以F为CC1的中点．
(2)如图，以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(1,0,2)，
设F(0,2，t)，t∈[0,2]，
＝(－1,0,2)，＝(－2,2，t)，
＝(2,0,0)，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
不妨取x＝2，则n＝，
所以点D到平面AEF的距离d＝
＝＝≤，
当t＝2，即点F与点C1重合时，取等号．
所以点D到平面AEF的最大距离为.
[周三]
3．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上．
(1)解　因为点A的横坐标为2，且点A在圆O上，
所以点A的坐标为A(2，2)，
代入抛物线方程得p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)证明　抛物线C：y＝，则y′＝，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以切线PM的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝·x－，
同理切线PN的方程为y＝·x－，
联立解得点P，
设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，
得x2－4kx－4＝0，
所以x1x2＝－4，
所以点P在定直线y＝－1上，结论得证．
[周四]
4．(2022·福州模拟)某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客