人教版高中数学第六周.docx

第六周
[周一]
1.(2022·漳州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos B＋acos C＋ccos A＝0.
(1)求B；
(2)若AB＝CD＝2，△ABC的面积为2，求AD.
解　(1)由bcos B＋acos C＋ccos A＝0及正弦定理得
sin Bcos B＋sin Acos C＋cos Asin C＝0，
所以sin Bcos B＋sin(A＋C)＝0，
所以sin Bcos B＋sin B＝0，
因为0<B<π，所以sin B>0，
所以cos B＝－，
所以B＝.
(2)因为△ABC的面积为2，
所以S△ABC＝acsin B＝2，
即a＝2，
所以a＝2，
由余弦定理得
AC＝＝2，
所以cos∠CAB＝
＝＝，
因为AC平分∠BAD，
所以cos∠CAB＝cos∠CAD，
所以CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD，
所以4＝20＋AD2－2×2×AD×，
所以AD2－8AD＋16＝0，
所以AD＝4.
[周二]
2．(2022·衡水模拟)某学校的射击比赛，开始时选手在距离目标100 m处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150 m处射击，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标200 m处射击，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在100 m处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．
(1)求选手甲在射击中得0分的概率；
(2)设选手甲在比赛中的得分为ξ，求ξ的分布列和均值．
解　(1)记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都没有击中目标为事件D，则P(A)＝.
设选手甲在x m处击中目标的概率为P(x)，
则P(x)＝.
由x＝100时，P(A)＝，得＝，
所以k＝5 000，P(x)＝，
所以P(B)＝，P(C)＝.
由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为
P(D)＝P()＝××＝.
(2)由题设知，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝1)＝××＝，
P(ξ＝0)＝.
则ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以均值为E(ξ)＝×1＋×2＋×3＝.
[周三]
3．(2022·潍坊模拟)图1是由矩形ACC1A1、等边△ABC和平行四边形ABB1A2组成的一个平面图形，其中AB＝2，AA1＝AA2＝1，N为A1C1的中点．将其沿AC，AB翻折，使得AA1与AA2重合，连接B1C1，BN，如图2.
(1)证明：在图2中，AC⊥BN，且B，C，C1，B1四点共面；
(2)在图2中，若二面角C1－AC－B的大小为θ，且tan θ＝－，求直线AB与平面BCC1B1所成角的正弦值．
(1)证明　取AC的中点M，连接NM，BM，如图，
因为ACC1A1为矩形，N为A1C1的中点，
所以AC⊥MN，
因为△ABC为等边三角