人教版高中数学压轴题突破练4.docx

压轴题突破练4
1．设f(x)＝2xln x＋1.
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
(1)解　f′(x)＝2(ln x＋1)．
所以当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝1－.
(2)证明　x2－x＋＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－－2(x－1)ln x
＝(x－1)，
令g(x)＝x－－2ln x，
则g′(x)＝1＋－＝≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，
所以当0<x<1时，g(x)<0，
当x>1时，g(x)>0，
所以(x－1)≥0，
即f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
2．(2022·石家庄模拟)如图，已知双曲线C：－y2＝1，过点P(1,1)向双曲线C作两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<0，x2>0.
(1)证明：直线PA的方程为－y1y＝1.
(2)设F为双曲线C的左焦点，证明：∠AFP＋∠BFP＝π.
证明　(1)显然直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y－1＝k(x－1)，
联立
消去y得(3k2－1)x2－6k(k－1)x＋3(k－1)2＋3＝0，
则Δ＝36k2(k－1)2－4(3k2－1)×3(k2－2k＋2)＝0，化简得k2＋k－1＝0.
因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标
x1＝－＝，
得y1＝，则＝3k，
故直线PA的方程为y＝(x－x1)＋y1，
则yy1＝－＋y，即－y1y＝1.
(2)由(1)同理可得lPB：－yy2＝1，
又lPA与lPB均过点P(1,1)，
所以－y1＝1，－y2＝1.
故lAB：－y＝1，F(－2,0)，
·＝(3,1)·(x1＋2，y1)＝3x1＋6＋y1，
·＝(3,1)·(x2＋2，y2)＝3x2＋6＋y2，
又因为x1<0，x2>0，所以x1≤－，x2≥，
则cos〈，〉＝
＝＝－，
cos〈，〉＝
＝＝，
故cos〈，〉＝－cos〈，〉，
故∠AFP＋∠BFP＝π.