人教2023届高考数学一轮教案第06讲指对幂函数（全国）（Word含答案）.zip

第06讲 指对幂函数
【知识点总结】
一、指数的运算性质
当a>0，b>0时，有
(1)aman=am+n(m,nÎR)； (2)( m,nÎR)
(3)(am)n=amn(m,nÎR)； (4)(ab)m=ambm(mÎR)；
(5)(pÎQ) (6)(m,nÎN+)
二、指数函数
(1)一般地，形如y=ax(a>0且a¹1)的函数叫做指数函数；
(2)指数函数y=ax(a>0且a¹1)的图像和性质如表2-6所示.
y=ax
a>1
0<a<1
图象
(1)定义域：R
(1)定义域：R
值域
(2)值域：(0,+¥)
(2)值域：(0,+¥)
(3)过定点(0,1)
(3)过定点(0,1)
(4)在R上是增函数.
(4)在R上是减函数.
(5)0<y<1Ûx>0
y=1Ûx=0
y>1Ûx<0
(5)0<y<1Ûx<0
y=1Ûx=0
y>1Ûx>0
三、对数概念
，叫做以为底的对数.
注：①，负数和零没有对数；
②；
③.
四、对数的运算性质
特殊地
五、对数函数
（1）一般地，形如的函数叫对数函数.
（2）对数函数的图像和性质，如表2-7所示.
图像
性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）图像过定点：
（4）在上是增函数
（1）定义域：
（2）值域：
（3）图像过定点：
（4）在上是减函数
六、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.
七、幂函数的图像
幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.
当时，在同一坐标系内的函数图像如图所示.
八、幂函数的性质
当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****已知函数则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，，故，
故选：C.
例2．（2022·全国·高三专题练****方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）．
A．log32 B． C．log23 D．
【答案】C
【详解】
方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.
故选：C
例3．（2022·全国·高三专题练****已知函数（且），其中a，b均为实数.
（1）若函数的图象经过点，，求函数的解析式；
（2）如果函数的定义域和值域都是，求的值.
（1）因为函数的图象经过点，，
∴，∴
∴函数.
（2）如果函数的定义域和值域都是，
若，则函数为增函数，
∴，无解.
若，则函数为减函数，
∴，解得，
∴.
例4．（2022·全国·高三专题练****1）计算；
（2）若，求的值．
【详解】
（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．
（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．
例5．（2022·全国·高三专题练****化简求值
（1）；
（2）；.
（3）；．
（4）.
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
例6．（2022·全国·高三专题练****已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
【详解】
（1），则函数是奇函数，
则当时，设，
则
，
，
，即，，
则，即，
则在，上是增函数，
是上的奇函数，
在上是增函数.
（2）在上是增函数，
不等式等价为不等式，
即.
即不等式的解集为.
例7．（2022·全国·高三专题练****已知函数，
（1）当时，求的值域；
（2）若对，成立，求实数的取值范围；
（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．
【详解】
（1）当时，函数，
的值域
（2）对，成立，等价于在的最小值大于或等于1．
而在上单调递减，所以，即
（3）对，，使得成立，
等价于在的最大值小于或等于在上的最大值9
由，
例8．（2022·全国·高三专题练****已知函数是定义在实数上的偶函数，且，当时，，函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明：对任意，都有；
（3）在同