人教2023届高考数学一轮教案第09讲导数的运算及切线方程（全国）（Word含答案）.zip

第09讲 导数的运算及切线方程
【知识点总结】
一、基本概念
1、导数的概念
设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即
2、导数的几何意义
函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为
3、导数的物理意义:设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度.若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度.
二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式如表
，为正整数
为有理数
注：
三、导数的运算法则（和、差、积、商）
设均可导，则
（1） （2）
（3） （4）
注：
四、复合函数的导数
复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵的导数为，
∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．
故选：C．
例2．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练****已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】
设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
例3．（2022·全国·高三专题练****已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【详解】
因为，所以，
所以.
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练****已知函数，则f（x）所有的切线中斜率最小的切线方程为___________.
【答案】4x﹣2y﹣3=0
【详解】
解：由，得，
由，当且仅当x=1时等号成立，
∴x=1满足题意，此时，又，
∴所求切线方程为，即4x﹣2y﹣3=0.
故答案为：4x﹣2y﹣3=0.
例5．（2022·全国·高三专题练****若直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，则切点坐标为____．
【答案】（，e）
【详解】
设切点的坐标为（m，n），
y＝e2x的导数为y′＝2e2x，
由切线方程y＝kx，
可得2e2m＝k，n＝km＝e2m，k＞0，
解得m，n＝e，
即切点的坐标为（，e）．
故答案为：（，e）．
例6．（2022·全国·高三专题练****文））已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______________________．
【答案】
【详解】
由题意得，将与分别代入，
得，，
解得，，而，
所以所求切线方程是，即 ．
故答案为：
例7．（2022·浙江·高三专题练****请用函数求导法则求出下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【详解】
（1）因为，则；
（2）因为，则；
（3）因为，则；
（4）因为，则
；
（5）因为，故.
例8．（2022·全国·高三专题练****已知曲线.
（1）求曲线S在点处的切线方程；
（2）求过点并与曲线S相切的直线方程.
【详解】
（1）∵，则，
∴当时，，
∴点处的切线方程为：，即.
（2）设切点坐标为，则直线斜率，而，整理得：
∴，则，即有，解得，
当时：，直线方程为；
当时，，直线方程为；
当时，，直线方程为.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练****某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为（ ）
A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒
【答案】C
【分析】
利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前秒的平均速度为，进而可求得结果.
【详解】
∵，
∴该物体在运动前2秒的平均速度为（米/秒）．
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练****函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数几何意义和过两点的直线的斜率公式，结合图象即得结果.
【详解】
如图所示，是函数的图象在