人教2023届高考数学一轮教案第11讲导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题（全国）（Word含解析）.zip

第11讲 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题
【知识点总结】
一、证明不等式常用的方法和思路
作差构造函数，转化为最值问题
二、不等式恒成立问题常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
三、零点问题常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．
（1）求的值；
（2）证明：．
【详解】
解：（1）因为，所以，
，解得．
（2）由（1）可得
即证．
令，，于是在上是减函数，在上是增函数，所以（取等号）．
又令，则，于是在上是增函数，在上是减函数，所以（时取等号）．
所以，即．
例2．（2022·全国·高三专题练****已知关于的函数
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
【详解】
（1）由得
知当时在上单调递减
当时，
当时在上单调递增，
当时在上单调递减.
（2）由（1）知时在上单调递减，在上单调递增，
，即有，
，
以上各式相加得，
例3．（2022·浙江·高三专题练****已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求c的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，.
令，解得或，
当，即或；当，即，.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，.
所以，时，有极大值，.
当时，有极小值.
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，.
又，，.
所以时，，.
因为对任意的都有成立，所以.
例4．（2022·全国·高三专题练****已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
【详解】
解：（1）当时，，
∴，，
∴切线方程为，
即
（2）∵，
∴原条件等价于：在上，恒成立.
化为
令，
则
令，则
在上，，
∴在上，
故在上，；在上，
∴的最小值为，∴
例5．（2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练****已知函数（）
（1）求在处的切线方程；
（2）当有3个零点时，求的取值范围．
【详解】
（1），切点为.
，，
所以切线方程为：.
（2），
令，解得，.
，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
所以的极大值为，极小值为.
因为有个零点时，所以，解得.
例6．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练****理））已知函数.
（1）若，求曲线在处切线的方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
【详解】
（1）由已知，
，
曲线在处切线方程为，即.
（2）.
①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为，无单调递减区间.
②当时，由，得.
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由已知，转化为，
由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，
解得.
例7．（2020·四川省内江市第六中学高三阶段练****理））已知，函数.
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值；
（2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围．
【详解】
（1）,依题意有
,且,可得,解得,或.
（2）.不妨设,
等价于.设,则对任意的,且,
都有,等价于在上是增函数.
,可得,依题意有, 对任意,
有恒成立. 由,可得.
【技能提升训练】
1．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练****文））已知函数在处的极值为2，其中．
（1）求，的值；
（2）对任意的，证明恒有．
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解.
（2）由于，要证不等式成立，转化为求解在时的最值，结合导数分析函数性质即可求解.
【详解】
（1），
由题意可得，
解得.
（2），
令，，
则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减且，
所以时，，
所以，即证.
2．（2021·新疆师范大学附属中学高三阶段练****理