人教2023届高考数学一轮教案第13讲基本不等式（全国）（Word含解析）.zip

第13讲 基本不等式
【知识点总结】
1. 几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则 (当且仅当“”时取“”).
特例：同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2. 均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
【典型例题】
例1．（2022·江苏·高三专题练****几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练****文））若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：，
又，
，令，
则，
，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．
故选：A．
例3．（2022·全国·高三专题练****已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】
由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝，
代入得a＋b＋c＝a＋b＋＝＋≥2＋2＝8，
当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
所以a＋b＋c的最小值为8.
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练****若，，，则的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
【答案】A
【详解】
因为，
所以，
即，当且仅当，即时取“”，
所以的取值范围是，.
故选：A.
例5．（2021·山西大同·高三阶段练****理））已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【详解】
∵点在直线上，
∴，
所以
当且仅当时，等号成立
故选：C.
例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.
故选：A
例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练****文））已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】
由，可得，
，
当且仅当且，即时等号成立．
故选：C．
例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练****已知，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
解：因为，所以，
即，则，
所以，又，所以，所以最大为3.
故选：C.
例9．（2021·江西·高三阶段练****理））已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为、，由已知可得，
因为，当且仅当时等号成立，
故实数的取值范围为，
故选：D．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练****理））已知函数在时取得最小值，则等于（ ）
A．6 B．8 C．16 D．36
【答案】D
【分析】
利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可
【详解】
因为，故，当且仅当，即时取等号，故
故选：D
【点睛】
均值不等式：
一正：，二定：为定值，三相等：当且仅当时等号成立
2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练****文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；
D．如果，，那么．
【答案】C
【分析】
设图中直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.
【详解】
设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.
图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的