人教2023届高考数学一轮教案第14讲等差数列、等比数列基本量（全国）（Word含解析）.zip

第14讲 等差数列、等比数列基本量
【知识点总结】
一、基本概念
1.数列
(1)定义.
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.
(2)数列与函数的关系.
从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.
2.等差数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.
(2)等差数列的通项公式.
若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().
(3)等差中项.
若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.
(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.
3.等比数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.
(2)等比数列的通项公式.
等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.
(3).
(4)等比中项
如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).
(5)等比数列的前项和

二、基本性质
1.等差数列的性质
(1)等差中项的推广.
当时,则有,特别地,当时,则有.
(2)等差数列线性组合.
①设是等差数列,则也是等差数列.
②设是等差数列,则也是等差数列.
(3)等差数列的单调性及前项和的最值.
公差为递增等差数列,有最小值;
公差为递减等差数列,有最大值;
公差为常数列.
特别地
若,则有最大值(所有正项或非负项之和);
若,则有最小值(所有负项或非正项之和).
(4)其他衍生等差数列.
若已知等差数列,公差为,前项和为,则为等差数列,公差为.
3.等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若时,则,特别地,当时,.
(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.
②设与为等比数列,则也为等比数列.
(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).
当或时,为递增数列;
当或时,为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为(当时,不为偶数).
4.等差数列与等比数列的转化
(1)若为正项等比数列,则为等差数列.
(2)若为等差数列,则为等比数列.
(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．－24 B．－3
C．3 D．8
【答案】A
【详解】
根据题意得
，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
解得d＝0(舍去)，d＝－2，
所以数列{an}的前6项和为.
故选：A
例2．（2022·全国·高三专题练****已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．38 B．50 C．36 D．45
【答案】D
【详解】
．
故选：D
例3．（2022·全国·高三专题练****等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为S3 = a2 +10a1，
所以a2 +a3= a2 +10a1，
即a3= 9a1，即= 9a1，
解得= 9，
又因为a5 = 9，
所以= 9，
解得，
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练****设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,
∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
∵S10∶S5=1∶2,即S10=S5,
∴等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为=-.
∴S15-S10=-(S10-S5)=S5.
∴S15=S5+S10=S5.
∴S15∶S5=.
故选：A.
例5．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中