人教2023届高考数学一轮教案第15讲等差数列、等比数列综合运用（全国）（Word含解析）.zip

第15讲 等差数列、等比数列综合运用
【知识点总结】
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A．978 B．557 C．467 D．979
【答案】A
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.
∵cn=an+bn，
解得，∴cn=2n-1+(1-n).
∴{cn}的前10项和为．
故选：A
例2．（2022·全国·高三专题练****已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C． D．58
【答案】A
【详解】
设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，
因为，，依次成等比数列，，
所以有，即，整理得，
因为，所以，，
因此，
故选：A.
例3．（2022·全国·高三专题练****已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当时，如下图所示，
当公差时，如下图所示，
如图可知当时，，，，.
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练****数列，满足，，，则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，数列，满足，，，
所以数列是等差数列，且公差是2，是等比数列，且公比是2，
又因为，所以
所以，
设，所以，则，
所以数列是等比数列，且公比为4，首项为4．
由等比数列的前n项和的公式，可得数列前n项的和为
故选：B.
例5．（2022·全国·高三专题练****已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6
【答案】C
【详解】
设等差数列的公差为，
成等比数列，即，则，
，
所以当或时，取得最大值.
故选：C.
例6．（2022·浙江·高三专题练****已知等差数列和等比数列满足，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，
所以．
所以．
又，即，所以
所以．
（2）由（1），
即是数列中的第项．
设数列的前项和为，数列的前项和为，
因为，，
所以数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，
所以
．
例7．（2022·全国·高三专题练****已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列， 从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数m ，使得．
【详解】
（1）设数列前项的公差为，则，(为整数)
又∵，，成等比数列，∴，即，得或（舍去），
当 时，， 6 分 ∴，，数列从第项起构成的等比数列的公比为，
∴当时，，故，
（2）由（1）知，当时等式成立，即，
当时等式成立，即，
当或时等式不成立，
当时，，
若，则，∴，
，，从而方程无解，∴ .
故所求或．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练****已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：，进而可得结果.
【详解】
设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
由题意可得：
A. ,故A不正确；
B. ，故B正确；
C. ，故C不正确；
D. ，故D不正确.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练****已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
【答案】D
【分析】
由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出，
令，即可得到满足不等式的最小整数.
【详解】
解：由题意可知：，
即，
即，
又，
，
即数列是以首项为9，公比为的等比数列，
，
即，
，
，
则，
即，
又，
满足不等式的最小整数，
即.
故选