人教2023届高考数学一轮教案第16讲数列通项（全国）（Word含解析）.zip

第16讲 数列通项
【知识点总结】
一、观察法
根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.
二、利用递推公式求通项公式
①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得
②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得
③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.
④利用与的关系求解
形如的关系，求其通项公式，可依据
，求出
【典型例题】
（多选）例1．（2022·全国·高三专题练****数列{an}的前n项和为Sn，，则有（ ）
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．
【答案】ABD
【详解】
依题意，
当时，，
当时，，
，所以，
所以，
所以.
当时，；当时，符合上式，所以.
，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
例2．（2022·全国·高三专题练****已知数列的首项，满足，则__________.
【答案】
【详解】
依题意，，
所以
.
故答案为：
例3．（2022·全国·高三专题练****已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
【答案】
【详解】
∵，
∴，
即．又，，
∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴数列的通项公式．
故答案为：.
例4．（2022·全国·高三专题练****已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.
【详解】
由，得，
又，所以当时，
，
又也满足上式，所以；
例5．（2022·全国·高三专题练****已知数列的前项和为，，，，求数列的通项公式.
【详解】
解：因为，，
所以，，又，
得，所以，又，
所以，.
例6．（2022·全国·高三专题练****在数列中，，求.
【详解】
解：因为，
所以，而，
∴是首项为4，公比为2的等比数列，故，
∴.
例7．（2022·全国·高三专题练****已知数列中，，，求的通项公式.
【详解】
，两边取倒数得，即，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练****下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成，2，；
②数列，0，1与数列1，0，是同一数列；
③数列的第项是；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】
利用数列的基本概念对四个选项逐一判断即可．
【详解】
解：对于①，是集合，不是数列，故选项①错误；
对于②，数列是有序的，故数列，0，1与数列1，0，是不同的数列，故选项②错误；
对于③，数列的第项是，故选项③正确；
对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．
故选：．
2．（2022·全国·高三专题练****九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成
串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=则解下4个环所需的最少移动次a4数为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．22
【答案】A
【分析】
根据通项公式直接求项即得结果.
【详解】
因为数列{an}满足a1=1，且an=
所以a2=2a1-1=2-1=1，所以a3=2a2+2=2×1+2=4，
所以a4=2a3-1=2×4-1=7.
故选:A
【点睛】
本题考查根据数列通项求项，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．（2022·全国·高三专题练****已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，利用累加法得出.
【详解】
由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练****文））已知数列{an}满足，且a1=1，a2=5，则（ ）
A．69 B．105 C．204 D．205
【答案】D
【分析】
可将已知适当变形成为，可构造等差数列，利用累加法求得
【详解】
设，
故构成以4为首项，1为公差的等差数列
故…………
故选：D
【点睛】
若满足，可考虑用累加法求通项公式，其原理为
……
……