人教2023届高考数学一轮教案第17讲数列求和（全国）（Word含解析）.zip

第17讲 数列求和
【知识点总结】
求数列前项和的常见方法如下：
（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式.
（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列.
（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式.常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.
（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.
（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****数列的通项公式，它的前项和，则（ ）
A．9 B．10 C．99 D．100
【答案】C
【详解】
数列的通项公式，则．解得．
故选：C．
例2．（2022·全国·高三专题练****在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（ ）
A．12 B．21 C．11 D．31
【答案】B
【详解】
由题意，公差大于0的等差数列中，，
可得，即，
由，，成等比数列，可得，
即为，解得或（舍去），
所以数列的通项公式，
所以数列的前21项和为：
.
故选：B.
例3．（2022·全国·高三专题练****已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【详解】
∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，
故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，
故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练****已知等差数列的前项和为，则___________.
【答案】
【详解】
解：设公差为，因为，所以，解得，所以，所以，所以，
所以
故答案为：
例5．（2021·全国·高三专题练****已知数列的前项和，函数对一切实数
总有，数列满足分别求数列、的通项公式.
【详解】
当
当
时满足上式，故 ；
∵=1∴
∵ ①
∴ ②
∴①②，得
例6．（2022·全国·高三专题练****已知为等差数列，为等比数列，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，
因为，所以，整理得，解得q＝2，
所以；
（2），
，
两式相减，得
所以．
例7．（2022·全国·高三专题练****数列的前项和为，.
（1）求，；
（2）设，数列的前项和为.证明：.
【详解】
（1）
①②得：
令时，
满足上式

数列是为首项，为公比的等比数列.

（2）证明：由①得：


又为递增数列

例8．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知数列是前项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【详解】
（1）∵
当时，
当时，满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，，
则
.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2021·全国·高三专题练****文））已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（ ）.
A．25 B．26 C．13 D．
【答案】C
【分析】
先根据已知条件求出，再利用倒序相加法求和即可.
【详解】
解：，
，
即，
设，①
则，②
则①＋②得：，
故.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练****已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
【分析】
根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和.
【详解】
因为函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题.
3．（2020·全国·高三专题练****已知函数，则的值为
A．4033 B．-4