人教2023届高考数学一轮教案第23讲立体几何小题（全国）（Word含解析）.zip

第23讲 立体几何小题
【知识点总结】
1.表面积与体积计算公式
表面积
柱体
为直截面周长
椎体
台体
球
体积
柱体
椎体
台体
球
2.斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下:
(1)建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,建立直角坐标系.
(2)画出斜坐标系.在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于使(或),它们确定的平面表示水平平面.
(3)画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于轴的线段,且长度保持不变;在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于轴,且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半”.
(4)擦去辅助线.图画好后,要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线(虚线).被挡住的棱画虚线.
注: 直观图和平面图形的面积比为.
3.外接球与内切球
类型1：正方体或长方体外接球的球心在其体对角线的中点。
类型2：正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。
推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。
公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
类型3：正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。
半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
类型4：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
类型5：锥体的内切球问题
三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
【典型例题】
例1．（2015·吉林长春·高三阶段练****文））已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________.
【答案】
【解析】
试题分析：已知四面体棱长为2，可知其外接球的半径为，从而其表面积为.
例2．（2015·吉林长春·高三阶段练****理））已知三棱锥中, ,,.则该三棱锥的外接球表面积为________.
【答案】
【解析】
试题分析：由条件，可将三棱锥放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为，有，得到，所以长方体的体对角线长为，该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球半径为，从而其表面积为.
例3．（2022·全国·高三专题练****理））若棱长为的正方体内部有一个球，球与正方体的各个面相切（即正方体的内切球）则该球的表面积为_____________．
【答案】
【详解】
由题意，正方体的棱长即为球的直径的长，
所以，所以，
，
故答案为：.
例4．（2022·全国·高三专题练****已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______．
【答案】
【详解】
过正方体的对角面作截面如图，故球的半径，
其表面积．
故答案为：.
例5．（2022·全国·高三专题练****理））已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法：
①若，，，则直线与可能平行；
②若，，，则直线与可能相交､平行或异面；
③若，，则直线与一定垂直；
④若，，，则直线与一定平行.
以上说法正确的是___________.（填序号）
【答案】①③
【详解】
对于①，若是两个平面的交线时，能够找到且的直线，故①正确；对于②，若，，，直线与不可能平行，故②错误；对于③，根据线面垂直､线面平行的性质可知直线与一定垂直，故③正确；对于④，若，，，则直线与可能平行也可能异面，故④错误.
故答案为：①③
例6．（2022·全国·高三专题练****已知是不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，且，则；
③若，，则．
所有正确命题的序号为__．
【答案】①③
【详解】
由是不重合的两条直线，为不重合的两个平面知：
对于①，过作平面，使，则，因为，所以，
又，所以，故①正确；
对于②，若，且，则或，故②错误；
对于③，过作平面，使得，因为，则，
因为，，所以，所以，故③正确．
故答案为：①③．
例7．（2022·上海·高三专题练****有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，，，，则这块菜地的面积为___________.
【答案】
【详