人教2023届高考数学一轮教案第24讲平行垂直问题（全国）（Word含解析）.zip

第24讲 平行垂直问题
【知识点总结】
1.证明空间中直线、平面的平行关系
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面.
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
2.证明空间中直线、平面的垂直关系
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（）；
⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（∥）；
⑤面面垂直的性质（）.
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）.
【典型例题】
例1．（2021·四川省广安代市中学校高二阶段练****文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.
（1）求证：平面PAD；
（2）求三棱锥C-PBD的体积.
【解析】
（1）连接，如下图所示：
因为为中点，且底面ABCD是边长为2的正方形，
所以为中点，
又因为为中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，如下图所示：
因为PA=PD=AD，所以且，
从而，则，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面平面，平面，
所以平面，
因为的面积，
所以的体积，
故三棱锥C-PBD的体积.
例2．（2021·海南·海港学校高三阶段练****如图，在四棱锥中，平面，∥，，，分别是棱的中点．
（1）求证：∥平面.
（2）求证：平面⊥平面.
【解析】
（1）设,连接,,
∥，,是棱的中点, ∥，,
四边形为平行四边形，是棱的中点,∥,
又平面,平面,∥平面.
（2）(方法一)⊥平面,平面,.
∥，,是棱的中点, ∥，,
四边形为平行四边形，∥，.
,四边形为菱形，,
平面,平面,平面,
又平面，平面⊥平面.
（方法二）连接,
平面,平面,
∥,,
平面,平面,,
是棱的中点, ,
由（1）可知，,,
又是棱的中点, ,
平面,平面,平面.
又平面,平面⊥平面.
例3．（2021·广西河池·高一阶段练****如图，四边形ABED为梯形，，，平面ABED，M为AD中点
（1）求证：平面⊥平面PBM
（2）探究在PD上是否存在点G，使得平面PAB，若存在求出G点，若不存在说明理由．
【解析】
（1）证明：连接，因为，，为的中点，所以四边形为菱形，所以，因为平面ABED，平面ABED，所以，因为，面，所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）解：当为的中点时，平面，
证明：如图连接，，因为为的中点，为的中点，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；
例4．（2021·山东潍坊·高二阶段练****如图，已知在长方体中，，，分别为，，的中点，为线段上非端点的动点，且，，设而与底面的交线为直线，
（1）证明：；
（2）当时，证明：为平面的一条垂线.
【解析】
（1）连结，因为，为，的中点，
所以.
又因为，
所以，
又因为平面，平面,
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以.
（2）连接，，
，同理可得，
因为，所以，
同理，
又因为，所以平面，
所以为平面的一条垂线.
【技能提升训练】
1．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练****如图，P为平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点，平面平面于直线.
（1）判断与平面的位置关系，并证明你的结论；
（2）判断与的位置关系，并证明你的结论.
【答案】（1）平面，证明见解析；（2），证明见解析.
【分析】
（1）取PD中点E，连接AE，NE，可得，且