人教2023届高考数学一轮教案第25讲空间向量与立体几何（全国）（Word含解析）.zip

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第25讲 空间向量与立体几何
【知识点总结】
一、空间向量的数量积运算
1.两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作.
2.数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，.
3.空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）；
（分配律）.
二、空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；
；
；
；
；
.
（2）设，，则.
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.
①已知，，则；
；
；
；
②已知，，则,
或者.其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.
（4）向量在向量上的射影为.
（5）设是平面的一个法向量，，是内的两条相交直线，则，由此可求出一个法向量（向量及已知）.
（6）利用空间向量证明线面平行：设是平面的一个法向量，为直线的方向向量，证明，（如图8-155所示）.已知直线（），平面的法向量，若，则.
（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量，，只要证明，即.
（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.
（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.
（10）空间角公式.
①异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则.
②线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则.
③二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中.
（11）点到平面的距离为，，为平面的法向量，则.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****如图所示，在三棱锥中，侧棱平面BCD，F为线段BD中点，，，.
（1）证明：平面ABD；
（2）设Q是线段AD上一点，二面角的正弦值为，求的值.
【详解】
解：（1）因为，F为线段BD中点，所以.
因为平面BCD，平面BCD，
所以.
又因为平面ABD，平面ABD，，
所以平面ABD.
（2）在三棱锥中，在平面BCD内作于E.
以B为原点建立如图空间直角坐标系.
由题得，，，，
，，.
设，
所以.
设，分别为平面ABQ，平面CBQ的一个法向量.
则，.
即，.
不妨取，.
因为二面角的正弦值为，则余弦值为，
所以，
解得（舍）或.
因此，的值为.
例2．（2022·全国·高三专题练****如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结.
（1）证明：平面；
（2）在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】
（1）
在四棱锥中，取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，，
则，，
因为平面，平面，
则平面，
同理可得，平面，
又，，平面，
故平面平面，
因为平面，
故平面；
（2）因为在等腰直角三角形中，，，
所以，则在四棱锥中，，，
因为，则，，
又，，平面，
故平面，又平面，故，
因为，，，则，
所以，故，
所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，8，，，5，，
故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故；
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
例3．（2022·全国·高三专题练****在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离.
【详解】
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，， .
（1）取，，则.
所以，点到直线的距离为.
（2）因为，所以，所以平面.
所以点到平面的距离为直线到平面的距离.
设平面的法向量为，则
所以
所以
取，则.所以，是平面的一个法向量.
又因为，所以点到平面的距离为.
即直线到平面的距离为.
例4．（2022·全国·高三专题练****如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，
，，且．
（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的