人教2023届高考数学一轮教案第29讲二项式定理（全国）（Word含解析）.zip

第29讲 二项式定理
【知识点总结】
一、二项式定理
.
展开式具有以下特点：
（1）项数：共项.
（2）二项式系数：依次为组合数.
（3）每一项的次数是一样的，都为次，展开式依的降幂、的升幂排列展开.特别地，.
二、二项式展开式的通项（第项）
二项式展开的通项为.其中的二项式系数.令变量（常用）取1，可得的系数.
注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点：
①分清是第项，而不是第项；
②在通项公式中，含这6个参数，只有是独立的，在未知的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求和.
三、二项式展开式中的系数
（1）二项式系数与项的系数
二项式系数仅指而言，不包括字母所表示的式子中的系数.例如：的展开式中，含有的项应该是，其中叫做该项的二项式系数，而的系数应该是（即含项的系数）.
二项式系数的性质
①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即，…，.
②二项展开式中间项的二项式系数最大.
如果二项式的幂指数是偶数，中间项是第项，其二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，它们的二项式系数和相等并且最大.
（3）二项式系数和与系数和
①二项式系数和 .
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，
.
②系数和
求所有项系数和，令；求变号系数和，令；求常数项，令。
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，其中，、，
令，得，得，
所以，展开式中的系数为.
故选：D.
（多选题）例2.（2022·全国·高三专题练****若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】
由题意，当时，，
当时，，
当时，，
所以，，
，
当时，，
所以.
故选：ACD.
例3．（2022·全国·高三专题练****若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________.
【答案】
【详解】
因为的展开式中各项系数的和为0，
令得，
解得，
所以的常数项为.
故答案为：-120
例4．（2022·全国·高三专题练****理））已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________．
【答案】－8064－32
【详解】
由题意知，，即，故，解得n＝5.
由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为＝－8064.
故答案为：－8064.
例5．（2022·全国·高三专题练****除以的余数是____．
设复数(是虚数单位)，则____．
【答案】 ##
【详解】
解：
.
因为后十项均能被整除，所以除以的余数是.
，
则
.
故答案为：1；.
例6．（2022·全国·高三专题练****求的展开式中含的项．
【详解】
由，
可得展开式中含的项为：
.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练****理））的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C．24 D．
【答案】B
【分析】
将式子分成两项之和，再利用二项式定理的展开式，求特定的项.
【详解】
因为
，
所以的展开式中项的为
，系数为.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练****的展开式中项的系数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
将化简为:,写出二项展开式的通项公式,即可求得答案.
【详解】

二项展开式的通项公式
中不含项,无需求解.
中含项,即当时
中含项,即当时
的展开式中项
故选:A.
【点睛】
本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.
3．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练****理））已知，二项式的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（ ）
A．66 B．36 C．30 D．6
【答案】B
【分析】
利用赋值法求出a值，再分析计算二项式展开式的通项即可得解
【详解】
因的展开式中所有项的系数和为192，则当时，，解得，
从而有展开式的通项为，