人教2023届高考数学一轮教案第32讲 概率与统计综合问题（全国）（Word含解析）.zip

第32讲 概率与统计综合问题
1．（2022·全国·高三专题练****理））2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105，称重后计算得出这60条鱼质量(单位)的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66.称重后计算得出这40条鱼质量(单位)的平方和为117.
附：（1）数据，，…的方差，（2）若随机变量服从正态分布，则；；.
（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数和方差；
（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量服从正态分布，用作为的估计值，用作为的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在的概率是多少？
（3）某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼儿质量在的条数，利用（2）的结果，求的数学期望.
【答案】
（1），
（2）
（3）
【分析】
（1）利用平均数及方差公式直接得解；
（2）由题知，结合参考数据即可得解；
（3）利用二项分布期望公式直接得解.
（1）
，.
（2）
该鱼塘鱼儿质量，其中，，
所以.
（3）
由题意可知，
所以的数学期望为.
2．（2022·全国·模拟预测）交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过两段路，若已知路段共要过个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，在路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，记段线路中第个交通岗遇到红灯的概率为.
（1）求该司机在路段的行驶过程中遇到红灯次数的分布列与期望；
（2）①求该司机在路段行驶过程中第个交通岗遇到红灯的概率的通项公式；
②试判断在最后离开路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于，还是小于，请用数据说明.
【答案】
（1）分布列见解析，
（2）①；②小于，理由见解析
【分析】
（1）由题意，X的取值可能为由二项分布概率公式计算出概率，得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望；
（2）①由已知条件得出的递推关系，变形凑配出等比数列，由此可得通项公式；②由通项公式可得其值与的大小关系．
（1）
由题可知X的取值可能为且易知，
且，
所以
所以的分布列为
1
2
3
4
；
（2）
①由题可知，即
又因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
②由①可知，，所以最后一个交通岗遇到红灯的概率小于.
3．（2022·全国·模拟预测）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用;第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化;之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实.现在，的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第月份至6月份的经济收入(单位:百万元)关于月份的数据如表:
时间(月份)
1
2
3
4
5
6
收入(百万元)
根据以上数据绘制散点图，如图.
（1）根据散点图判断，与均为常数)哪一个适宜作为经济收入关于月份的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)
（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该公司8月份的经济收入；
（3）从前6个月的收入中抽取个﹐记月收入超过百万的个数为，求的分布列和数学期望.
参考数据:
其中设
参考公式和数据:对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:，
【答案】
（1）；
（2），百万元；
（3）分布列见解析，2.
【分析】
（1）根据散点图的分布即可得到答案；
（2）根据题意，，然后根据参考数据求出方程，进而得到y关于x的回归方程，最后将
代入方程即可得到答案；
（3）根据超几何分布求概率的方法求得概率，然后列出分布列，最后根据期望公式求出期望.
（1）
根据散点图判断，适宜作为经济收入关于月份的回归方程类型.
（2）
因为，所以两边同时取常用对数﹐得，
设，所以，又因为，
所以，，
所以，即，