人教2023届高考数学一轮教案第33讲 直线方程（全国）（Word含解析）.zip

第33讲 直线方程
【知识点总结】
一、基本概念
斜率与倾斜角
我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在。轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即。
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
二、基本公式
1. 两点间的距离公式
2. 的直线斜率公式
3.直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线的斜率存在且过，
注：①当时，；②当不存在时，
（2）斜截式：直线的斜率存在且过，
（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：可表示经过两点的所有直线
（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定.
两直线方程
平行
垂直
(斜率存在)
(斜率不存在)
或
或中有一个为0，另一个不存在.
四、三种距离
1．两点间的距离
平面上两点的距离公式为.
特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离
2．点到直线的距离
点到直线的距离
特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离
3.两条平行线间的距离
已知是两条平行线,求间距离的方法:
(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
(2)设,则与之间的距离
注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设直线的斜率为，则直线方程为，直线在轴上的截距为1－，
令－3<1－<3，解不等式得或.
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练****文））设，直线恒过定点A，则点A到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
恒过的点为，直线变形为，恒过点，所以点到直线的距离最大值即为的长，其中.
故选：D
例3．（2022·全国·高三专题练****已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得．
解得或．，．
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练****多选)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有（ ）
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
【答案】ABD
【详解】
依题意，直线PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分别为：，，
，，，
由得PQ∥SR，由得PQ⊥PS，由得PR⊥QS，而得PS与QS不平行，
即选项ABD正确，选项C不正确.
故选：ABD
例5．（2022·全国·高三专题练****已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
【答案】.
【详解】
由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
例6．（2022·上海·高三专题练****坐标原点关于直线对称的点的坐标是________.
【答案】
【详解】
解：设原点关于直线对称的点的坐标是，
则中点坐标为在直线上，直线的斜率为
则，解得，．
要求的对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
例7．（2022·全国·高三专题练****直线与直线之间的距离为__________．
【答案】
【详解】
化简直线为，
根据平行线间的距离公式，可得，
即直线与直线之间的距离为.
故答案为：.
例8．（2022·全国·高三专题练****已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点；
（2）且过点；
（3）且l1在y轴上的截距为.
【解析】
（1）解：由于与相交于一点，故把点代入的方程
可得，联立解得.
（2）解：当时，可得和，此时不满足；
当时，因为且过点，可得，
解得或.
（3）解：由且l1在y轴上的截距为，可得，解得.
例9．（2022·全国·高三专题练