人教2023届高考数学一轮教案第36讲 轨迹方程（全国）（Word含解析）.zip

第36讲 轨迹方程
【知识点总结】
求动点的轨迹方程
一、直译法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。
二、定义法
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则
可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。
三、相关点法（代入法）
有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式。
【典型例题】
例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A，B的坐标分别为，，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为.
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足APOM，BPON，求△MON的面积.
【解析】
（1）由已知设点的坐标为，
由题意知，
化简得的轨迹方程为
（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，
则直线斜率必存在且不为0，又由已知.
因为，所以
设直线的方程为，代入椭圆方程，
得....①，
设的坐标分别为，则
又，
所以，得
又，
所以，
即的面积为定值.
例2．（2022·全国·高三专题练****动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值.
（1）求动点的轨迹方程：
（2）若直线与动点的轨迹交于不同的两点，，且线段被直线平分，求直线的斜率的取值范围.
【解析】
（1）设点，依题意，有
两边平方，整理得
所以动点的轨迹方程为；
（2）联立，解得.
设点，，的中点为
则，由题意可得，
又因为点，都在椭圆上，则
将上述两个等式作差得.则
则，即
所以，即
所以直线的斜率的取值范围是
例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）过点作直线MN交点Q的轨迹于M､N两点，设线段MN的中点为H，判断线段与的大小，并证明你的结论.
【解析】
（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴.
又，∴.
∴点Q的轨迹是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为4的椭圆.
可设方程为，则，
∴，
∴点Q的轨迹方程为.
（2）结论是：.
①当直线MN的斜率不存在时，，，此时；
②当直线MN的斜率k存在时，设：
代入到，化简得，
设，
则，，
此时，，
∴
.
∴，点A在以MN为直径的圆上或圆的内部，所以.
综上所述，.
例4.（2021·全国·高三专题练****点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程.
【详解】
设动点M的坐标为（x，y），设B点坐标为（x0，y0），
则由M为线段AB中点，可得
，即点B坐标可表示为（2x－2a，2y），
因为点（x0，y0）在椭圆上，
，
从而有
整理得动点的轨迹方程为.
例5．（2021·全国·高三专题练****已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
【详解】
设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，（1），（2）
得：，
.
又，.
由于弦中点轨迹在已知椭圆内，
联立
故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：
例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点且与圆相内切.
（1）求动圆圆心P的轨迹方程.
（2）直线过原点，且与轨迹有两个交点.轨迹上是否存在一点，使△为正三角形，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
【详解】
设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则由条件知：
，
故，
因此，P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆方程.
故圆心P的轨迹方程为：.
（2）解法一：若直线的斜率存在且不为零.
故可设.直线方程为：
由
同理，得
因，此时无解.
若直线的斜率为零，此时也无解.
若直线的斜率不存在，可求出.故的坐标为
解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设，
代入椭圆方程，得
同理，由
得，故存在这样的点，其坐标为.
例7．（2021·全国·高三专题练****理））如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程.
【详解】
由已知得，
∵，
∴由正弦定理得:，
∴，
∴由双曲线的定义知，点的轨迹以