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天津市耀华中学2023届第三次月考
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．
第I卷（选择题 共45分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在规定位置）
1. 设集.集合.则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得到集合，再利用集合的交集求解.
【详解】
又，所以
故选：B
2. 在△ABC中，“”是“A＜B”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先利用大角对大边得到，进而利用正弦定理将边边关系得到，即证明了必要性，再同理得到充分性．
【详解】在三角形中，若A＜B，则边a＜b，由正弦定理，得．若，则由正弦定理，得a＜b，根据大边对大角，可知A＜B，即是A＜B的充要条件．故选C.
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行与的转化.
3. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C，利用时排除选项B，所以选项A正确.
【详解】函数的定义域为
当时，，可知选项D错误；
当时，，可知选项C错误；
当时，，可知选项B错误，选项A正确.
故选：A
4. 2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学****宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动．其中由学生会同学制作了宪法学****问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照、、…、分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（ ）
A. 图中的值为0.02
B. 由直方图中的数据，可估计75%分位数是85
C. 由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77
D. 90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀
【答案】D
【解析】
【分析】根据统计学的有关原理逐项分析.
【详解】对于A， ，正确；
对于B， ， ，
∴ 分位数= ，正确；
对于C，平均数= ，正确；
对于D，90分以上的人数为 ，错误；
故选：D.
5. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
6. 设函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 的最大值为
B. 的一个零点为
C. 的最小正周期为
D. 的图象关于直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定.
【详解】，所以的最小正周期为，的最大值为，C，A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，D正确；因为，所以不是函数的零点，B错误，
故选：B.
7. 双曲线的左右焦点分别是，，离心率为，过的直线交双曲线的左支于，两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线性质设，则，，，计算得到，根据勾股定理解得答案.
【详解】是以为直角顶点的等腰直角三角形，
设，则，，，
则，即，解得，
在直角中：，
化简得到.
故选：A.
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将变形为，然后从对数函数的定义域及单调性考虑，结合指数函数的值域，得到
，进而得到，，，结合，