人教版山东省青岛第二中学1月期末数学试题.docx

2022-2023第一学期期末测试
数学
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝，B＝，则A∩B等于(　　)
A．[1,3] B．[1,5] C．[3,5] D．[1，＋∞)
2．若复数z满足：，则的共轭复数的虚部为（    ）
A．-2 B．i C．0 D．2
3．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（    ）
A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤
4．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）
A．0.5 B．0.625 C．0.75 D．0.875
5．已知，则（    ）
A． B． C． D．
6．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则的面积为（    ）
A．2 B．3 C． D．
7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（　　）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得
10．已知函数，若在上的值域是，则实数的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
11．对于伯努利数，有定义：.则（    ）
A． B．
C． D．
12．已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（    ）
A．是函数的一个零点 B．函数的图象关于直线对称
C．方程在上有三个解 D．函数在上单调递减
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是______.
14．已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线交于，两点，过，分别作的切线、，与交于点，，与轴的交点分别为，，则四边形的面积为______________．
15．已知函数，则的最小值为____.
16．已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为，则的取值范围为__________．
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正确得分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功．
（）求至少回答对一个问题的概率．
（）求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列．
（）求这位挑战者闯关成功的概率．
18．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E，F是AB边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm.
(1)求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求出函数的定义域.
(2)当x为多少时，包装盒的容积V（）最大？最大容积是多少？
19．已知函数
(1)函数为的导函数，讨论当时的单调性；
(2)当时，证明：存在唯一的极大值点.
20．已知数列中，，，，
（1）求的通项公式；
（2）设，求．
21．已知直线方程为，其中.
(1)当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程；
(2