人教版易错点11 平面向量（解析版）.docx

易错点11 平面向量
易错点1：向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小称为向量的模(或大小)，记作||.
(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.
(3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量.
(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.
(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.
(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.
易错点2.向量的线性运算
向量运算
定　义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：
①当λ>0时，与a的方向相同；
②当λ<0时，与a的方向相反.
(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
易错点3.共线向量定理
如果存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)，则b∥a.
易错点4.向量模的不等式
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
易错点4.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
易错点5.平面向量的坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
易错点6.平面向量的坐标运算
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
易错点7.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.
易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
1．在中，点D满足，E为上一点，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
则，
因为A，E，D三点共线，
所以，所以．
故选：D.
2．已知点A､B在单位圆上，，若，则的最小值是（    ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【详解】，因此.
故选：A.
3．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知得，，，
，所以.
故选：C．
4．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在方向上的投影向量为
故选：C.
5．已知平面向量 ，若 与垂直，则λ＝（    ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】C
【详解】因为，故，
由题意与垂直，∴，
即 ，解得 ，
故选：C
1．已知向量，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】因为，所以.
故选：D
2．已知向量，，若，则实数m等于（    ）
A．－ B．
C．－或 D．0
【答案】C
【详解】由知：1×2－m2＝0，即或.