人教版易错点18 不等式选讲（解析版）.docx

易错点18 不等式选讲
易错点1.绝对值不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
{x|－a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x∈R|x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解．
②利用零点分段法求解．
③构造函数，利用函数的图象求解．
易错点2.基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
易错点3.不等式证明
1．比较法
(1)比差法的依据是：a－b>0⇔a>b．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．
(2)比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证≥1.
2．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．
(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
易错点4.柯西不等式
1、柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
2、柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立．
3、柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，
则＋≥.
4、柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
1．已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，所以，即，又，所以．
所以．
因为，
所以．
故选：A．
2．已知，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由绝对值三角不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，而，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．设，若的最大值是5，则的最大值是（    ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【详解】当时，
，
所以是可能的，故B、C错误；
将点分别代入，
得，又，
因为的最大值为5，所以恒成立，
即，解得，
当时，，无解，故A错误，D正确.
故选：D.
4．关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由于，时等号成立.
所以恒成立，
即或，
解得，
所以的取值范围是.
故选：C
5．已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】（1）解：当时，不等式，即，
所以或，
即得或，
解得或，
所以不等式的解集为或
（2）解：因为对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，即，即，
故只要且对任意的恒成立即可，
因为，，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
令，，
因为函数在上单调递增，
所以在上的单调递增，从而，
所以，，即实数的取值范围是
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，