人教版专题04 一元函数的导数及其应用（测）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

专题04 一元函数的导数及其应用
能力提升检测卷
时间：90分钟 分值：100分
选择题（每小题只有一个正确选项，共7*5分）
1．已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为，则（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为与互为反函数，故图像关于对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于两点，且两条切线交点为，
如图，
设，则，即，解得或-3（舍去），
故，易求得曲线的斜率为2的切线方程为，
故曲线的斜率为2的切线方程为，
的斜率为2的切线方程为，故曲线的斜率为2的切线方程为，
所以，则，则.故A，B，D错误.
故选：C.
2．已知，，，则（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，，，
∴，
对于函数，，
令，，则，
∴在上单调递减，
∴，即，在上单调递减，
∴，即，
∴，
∴.
故选：B.
3．已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由为偶函数知，，即，
即函数关于对称，则，
由是奇函数知，，即函数关于点对称，
则，且，
所以，即，即函数的周期是4，
则；
又
所以，则，即
所以，即导函数关于点对称，且.
由，即导函数的周期是4，
则；
所以.
故选：D.
4．曲线在处的切线的斜率为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
，
所以曲线在处的切线的斜率为.故A，C，D错误.
故选：B.
5．已知曲线在点处的切线方程为，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】将代入，得，
易知直线的斜率为8．
因为，所以，所以．
故选：B．
6．在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：；.则利用泰勒公式估计的近似值为（       ）（精确到）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，求导可得，
因为，，，，
所以，
故选：B.
7．已知，，则为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
∴，
，，
，
∴，
∴.
故选：A．
二、填空题（每小题只有一个正确选项，共3*5分）
8．设曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为，则 __________．
【答案】
【详解】解：由得，所以切线的斜率为，
所以在点处的切线方程为，
令，解得，即，
所以.
故答案为：.
9．曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是__________．
【答案】
【详解】解：由题意，
所以时，，又时，，
所以所求切线的方程为，即．
故答案为：．
10．已知函数为偶函数，则函数的零点个数为______．
【答案】2
【详解】由为偶函数，得，即，
所以m－1＝0，即m＝1，所以，则，
易知在（0，1）上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值，也是最小值，为．
又因为，且的图象在上连续不断，所以在上有唯一零点；
又因为，且的图象在（0，1）上连续不断，所以在（0，1）上有唯一零点．
综上所述，有且仅有2个零点．
故答案为：2.
主观题（共5小题，共50分）
11．设函数，若为奇函数，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)函数的极大值点．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
因为函数为奇函数，所以，
从而得到，即，所以．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）
，
由，得，由，得或，
所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，
所以函数的极大值点是．
12．已知函数．若在上的极值点为，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：由，得．
因为在上的极值点为，
所以，
得，
从而
，
所以．
13．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)设的极小值为，求的最大值；
(2)若存在使得，且，求的取值范围.
【答案】(1)2；
(2).
【解答】
（1）
因为，
所以在上单调递增，
又，所以存在唯一，使，即，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为
，
所以，
令，则，
所以，单调递增，，上单调递减，
∴，
即的最大值为2；
（2）
不妨设，
所以