人教版专题4 向量综合归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

专题4 向量综合归类
目录
讲高考 1
题型全归纳 4
【题型一】向量夹角 5
【题型二】线性运算1：基底型基础 7
【题型三】线性运算2：双线交点型 9
【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型 13
【题型五】向量基底“象限坐标轴” 16
【题型七】向量最值 20
【题型八】数量积 23
【题型九】模及其应用 26
【题型十】投影 28
【答案】-1 28
【题型十一】面积与奔驰定理 29
专题训练 33
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵∴9，∴故选：C.
2．（福建·高考真题）已知，点C在内，且.设，则等于（    ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得,建立坐标系，由已知条件可得，进而可得，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以,又因为点C在内，且，建立如图所示的坐标系：
则,,
又因为，所以，所以，
所以.故选：B.
3．（山东·高考真题）在直角中CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量模、数量积的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项正确.
C选项，
，C选项错误.
D选项，根据三角形的面积公式可知：
,
结合AB选项的分析可知：
，D选项正确.故选：C
4．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线
的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
6．（全国·高考真题）向量满足，且，则与夹角的余弦值等于___________．
【答案】##
【分析】利用向量数量积公式得到，解出即可.
【详解】
解得.
故答案为：.
7．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
题型全归纳
【题型一】向量夹角
【讲题型】
例题1.已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出
，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】
设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，故选：A.
例题2.已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据，，为单位向量，变形后平方可得：，，，利用夹角公式求出与夹角的余弦值.
【详解】
，，为单位向量.
对两边平方，即，可得：；
由可得：，两边平方，可得：；
由可得：，两边平方，可得：，所以．
．故选：A
【讲技巧】
求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则