人教版专题09 三角函数（教师版）.docx

专题09 三角函数
1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（       ）
A．16 B．14 C．13 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，即可求出ω的最小值.
【详解】
由题意知：曲线C为y=sinωx+π2+π3=sin(ωx+ωπ2+π3)，又C关于y轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，
解得ω=13+2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为13.
故选：C.
2．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（       ）
A．53,136 B．53,196 C．136,83 D．136,196
【答案】C
【解析】
【分析】
由x的取值范围得到ωx+π3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得ω>0，因为x∈0,π，所以ωx+π3∈π3,ωπ+π3，
要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈π3,3π的图象如下所示：
则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈136,83．
故选：C．
3．【2022年全国乙卷】函数fx=cosx+x+1sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（       ）
A．−π2，π2 B．−3π2，π2 C．−π2，π2+2 D．−3π2，π2+2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得fx的单调区间，从而判断出fx在区间0,2π上的最小值和最大值.
【详解】
f'x=−sinx+sinx+x+1cosx=x+1cosx，
所以fx在区间0,π2和3π2,2π上f'x>0，即fx单调递增；
在区间π2,3π2上f'x<0，即fx单调递减，
又f0=f2π=2，fπ2=π2+2，f3π2=−3π2+1+1=−3π2，
所以fx在区间0,2π上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.
故选：D
4．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（       ）
A．1 B．32 C．52 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】
由函数的最小正周期T满足2π3<T<π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，
又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z，且b=2，
所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，
所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.
故选：A
5．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sinβ，则（       ）
A．tan(α−β)=1 B．tan(α+β)=1
C．tan(α−β)=−1 D．tan(α+β)=−1
【答案】C
【解析】
【分析】
由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】
由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ,
即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，
即：sinα−β+cosα−β=0,
所以tanα−β=−1,
故选：C
6．【2021年甲卷文科】若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
7．【2021年乙卷文科】函数的最小正周期和最大值分别是（       ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
8．【2021年乙卷文科】（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】